1)Что означает, что мера на полукольце продолжается до меры на минимальном кольце?(что означает это продолжение?) 2)Правильно ли я понимаю, что из предкомпактности следует компактность? 3)Какие есть несложные примеры вполне ограниченных множеств? задан вчера Vas12
показано 5 из 10
показать еще 5
|
1) Мера -- это функция, которая каким-то множествам сопоставляем числа по особому правилу. Если мы расширили область определения функции, оставив её значения прежними на старой области определения, то говорят, что мы функцию продолжили. Так же и с мерой. Она задавала значения "мер" (длин, площадей, объёмов etc) какого-то частного вида множеств, а стала определена для фигур более общего вида.
2) Наоборот. И по смыслу так: предбанник -- это ещё не баня, но в каждой бане есть предбанник.
3) Любое ограниченное в R^n, например.
Спасибо! Пусть m - сигма-конечная, сигма-аддитивная мера на полукольце S с единицей X. Мерой Лебега измеримого множества A из X называется(X представляется в виде дизъюнктного объединения X_k): $%\sum_{k=1}^n \mu_k(A \cap X_k)$%, где $%\mu_k$%- продолжение по Лебегу меры m, суженной на $%S|_{X_k}$%. Почему мы вообще можем сужать меру на полукольцо с такой единице?
@Vas12: это должно автоматически следовать из контекста. Но его нужно видеть целиком, чтобы знать, что было изначально дано. По отрывку судить трудно (не известно, что чем обозначено).
@falcao, а вот функция f из L1(R). То, что в скобках стоит R означает, что у нас борелевская сигма-алгебра с единицей R? И на ней определена мера Лебега - длина?
@Vas12: это значит, что функция задана на всей прямой, а в других случаях могла быть задана только на отрезке или на луче.
Определение пространства L1 сравнительно длинное, но его главная суть в том, чтобы интеграл по всей прямой от модуля функции был конечен. Остальное уже не так важно. Не надо так воспринимать абстрактные понятия. Надо лишь понимать их назначение, а мыслить желательно более конкретно и предметно. Про "единицу", например, говорить вообще незачем -- есть она, и ладно.
А что такое классическая мера Лебега на прямой?
@Vas12: Вы думаете, я Вам лучше это изложу, чем авторы учебника? :) Это содержание целой главы, если не больше.
Это же просто длина?)
Классическая мера -- это мера, полученная продолжением с полукольца промежутков меры, которая возвращает длину промежутка.
@Vas12: конечно, для отрезков и (полу)интервалов классическая мера Лебега -- это и есть длина, но это "открытие" того же порядка, как и то, что все мы говорим прозой :)
В общем же случае, если мы рассматриваем что-то типа канторова множества, говорить о его длине не слишком уместно, поэтому говорят "мера", понимая под этим расширение или обобщение понятия длины. Аналогично с площадями и объёмами.