анализ - Продолжение меры

1) Мера -- это функция, которая каким-то множествам сопоставляем числа по особому правилу. Если мы расширили область определения функции, оставив её значения прежними на старой области определения, то говорят, что мы функцию продолжили. Так же и с мерой. Она задавала значения "мер" (длин, площадей, объёмов etc) какого-то частного вида множеств, а стала определена для фигур более общего вида.

2) Наоборот. И по смыслу так: предбанник -- это ещё не баня, но в каждой бане есть предбанник.

3) Любое ограниченное в R^n, например.

Спасибо! Пусть m - сигма-конечная, сигма-аддитивная мера на полукольце S с единицей X. Мерой Лебега измеримого множества A из X называется(X представляется в виде дизъюнктного объединения X_k): $%\sum_{k=1}^n \mu_k(A \cap X_k)$%, где $%\mu_k$%- продолжение по Лебегу меры m, суженной на $%S|_{X_k}$%. Почему мы вообще можем сужать меру на полукольцо с такой единице?

@Vas12: это должно автоматически следовать из контекста. Но его нужно видеть целиком, чтобы знать, что было изначально дано. По отрывку судить трудно (не известно, что чем обозначено).

@falcao, а вот функция f из L1(R). То, что в скобках стоит R означает, что у нас борелевская сигма-алгебра с единицей R? И на ней определена мера Лебега - длина?

@Vas12: это значит, что функция задана на всей прямой, а в других случаях могла быть задана только на отрезке или на луче.

Определение пространства L1 сравнительно длинное, но его главная суть в том, чтобы интеграл по всей прямой от модуля функции был конечен. Остальное уже не так важно. Не надо так воспринимать абстрактные понятия. Надо лишь понимать их назначение, а мыслить желательно более конкретно и предметно. Про "единицу", например, говорить вообще незачем -- есть она, и ладно.