1)Что означает, что мера на полукольце продолжается до меры на минимальном кольце?(что означает это продолжение?)

2)Правильно ли я понимаю, что из предкомпактности следует компактность?

3)Какие есть несложные примеры вполне ограниченных множеств?

задан 13 Янв 21:33

1) Мера -- это функция, которая каким-то множествам сопоставляем числа по особому правилу. Если мы расширили область определения функции, оставив её значения прежними на старой области определения, то говорят, что мы функцию продолжили. Так же и с мерой. Она задавала значения "мер" (длин, площадей, объёмов etc) какого-то частного вида множеств, а стала определена для фигур более общего вида.

2) Наоборот. И по смыслу так: предбанник -- это ещё не баня, но в каждой бане есть предбанник.

3) Любое ограниченное в R^n, например.

(13 Янв 21:42) falcao

Спасибо! Пусть m - сигма-конечная, сигма-аддитивная мера на полукольце S с единицей X. Мерой Лебега измеримого множества A из X называется(X представляется в виде дизъюнктного объединения X_k): $%\sum_{k=1}^n \mu_k(A \cap X_k)$%, где $%\mu_k$%- продолжение по Лебегу меры m, суженной на $%S|_{X_k}$%. Почему мы вообще можем сужать меру на полукольцо с такой единице?

(13 Янв 22:04) Vas12

@Vas12: это должно автоматически следовать из контекста. Но его нужно видеть целиком, чтобы знать, что было изначально дано. По отрывку судить трудно (не известно, что чем обозначено).

(13 Янв 22:21) falcao

@falcao, а вот функция f из L1(R). То, что в скобках стоит R означает, что у нас борелевская сигма-алгебра с единицей R? И на ней определена мера Лебега - длина?

(14 Янв 0:22) Vas12

@Vas12: это значит, что функция задана на всей прямой, а в других случаях могла быть задана только на отрезке или на луче.

Определение пространства L1 сравнительно длинное, но его главная суть в том, чтобы интеграл по всей прямой от модуля функции был конечен. Остальное уже не так важно. Не надо так воспринимать абстрактные понятия. Надо лишь понимать их назначение, а мыслить желательно более конкретно и предметно. Про "единицу", например, говорить вообще незачем -- есть она, и ладно.

(14 Янв 0:33) falcao

А что такое классическая мера Лебега на прямой?

(14 Янв 0:55) Vas12

@Vas12: Вы думаете, я Вам лучше это изложу, чем авторы учебника? :) Это содержание целой главы, если не больше.

(14 Янв 1:15) falcao

Это же просто длина?)

(14 Янв 2:06) Vas12

Классическая мера -- это мера, полученная продолжением с полукольца промежутков меры, которая возвращает длину промежутка.

(14 Янв 4:21) caterpillar

@Vas12: конечно, для отрезков и (полу)интервалов классическая мера Лебега -- это и есть длина, но это "открытие" того же порядка, как и то, что все мы говорим прозой :)

В общем же случае, если мы рассматриваем что-то типа канторова множества, говорить о его длине не слишком уместно, поэтому говорят "мера", понимая под этим расширение или обобщение понятия длины. Аналогично с площадями и объёмами.

(14 Янв 18:29) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431

задан
13 Янв 21:33

показан
69 раз

обновлен
14 Янв 18:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru