Может ли существовать всюду положительная на отрезке функция, интеграл которой на этом отрезке равен 0? Нужно доказательство через суммы Дарбу.

задан 16 Сен '13 22:57

Ну, покажите, что нижняя сумма Дарбу положительна...

(16 Сен '13 23:33) all_exist

@all_exist: нахождение положительной нижней суммы Дарбу равносильно нахождению маленького отрезка, на котором функция имеет положительную точную нижнюю грань. Мне кажется, это по уровню сложности мало чем отличается от исходной задачи.

(17 Сен '13 2:46) falcao

@falcao, пардон... мне подумалось, что здесь определён класс интегрируемых по Риману функций...

(17 Сен '13 16:16) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Такая функция существовать не может.

Здесь напрашивается идея применить теорему Бэра о том, что отрезок нельзя представить в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. Если этой теоремой разрешается пользоваться как известной, то всё хорошо. А если нет, то я напомню её доказательство.

Прежде всего, выведем из этой теоремы нужное заключение. Для каждого натурального $%n$% рассмотрим множество $%X_n$%, состоящее из всех точек $%x$% отрезка $%[a,b]$%, для которых $%f(x) > 1/n$%. Поскольку $%f(x) > 0$% для всех точек отрезка, неравенство $%f(x) > 1/n$% будет выполнено при $%n > 1/f(x)$%. Отсюда следует, что каждая точка отрезка попадает в одно из множеств счётного семейства $%X_n$% ($%n\in{\mathbb N}$%), то есть объединением множеств рассматриваемого семейства будет весь отрезок.

Теперь применим теорему Бэра, находя такой номер $%n$%, для которого $%X_n$% не будет являться нигде не плотным. Определение нигде не плотного подмножества $%M$% таково: в любом отрезке $%[c,d]\subseteq[a,b]$% найдётся "подотрезок" $%[x,y]\subseteq[c,d]$%, не пересекающийся с $%M$%.

Поскольку $%X_n$% таковым не является, то рассмотрение логического отрицания предыдущего свойства даёт следующее: найдётся отрезок $%[c,d]$% такой, что на любом его подотрезке есть точки из $%X_n$%. Это значит, что при рассмотрении любого разбиения отрезка $%[a,b]$%, её верхняя сумма Дарбу превышает $%(d-c)/n$%, то есть некоторую положительную константу (номер $%n$% у нас здесь фиксирован). Это верно для всех верхних сумм Дарбу, откуда следует, что и их точная нижняя грань не меньше указанной положительной величины. А это значит, что интеграл Римана от функции $%f(x)$% по отрезку $%[a,b]$% строго положителен (при условии, что она интегрируема).

Утверждение о суммах Дарбу из предыдущего абзаца обосновывается просто. Если рассмотреть те отрезки разбиения, которые пересекаются с $%(c,d)$% , то окажется, что точная верхняя грань функции на каждом из них больше $%1/n$%, а сумма длин таких отрезков не меньше $%d-c$%. С учётом того, что все остальные слагаемые верхней суммы Дарбу положительны, имеем нужный нам результат.

Теперь напомним доказательство теоремы Бэра. Предположим, что отрезок представлен в виде счётного объединения множеств $%X_n$% ($%n\in{\mathbb N}$%), каждое из которых нигде не плотно. Это верно для $%X_1$%, что позволяет найти отрезок $%[u_1,v_1]$%, не содержащий точек из $%X_1$%. Ввиду того, что $%X_2$% нигде не плотно, находим отрезок $%[u_2,v_2]\subseteq[u_1,v_1]$%, в котором нет точек из $%X_2$%. Продолжая этот процесс, получаем вложенную систему отрезков $%[u_n,v_n]$%, в которой $%n$%-й отрезок не пересекается с $%X_n$%. По теореме Кантора, вложенная система отрезков имеет непустое пересечение. Тогда получается, что общая для этих отрезков точка не принадлежит ни одному из множеств семейства, что противоречит условию.

ссылка

отвечен 17 Сен '13 3:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,131
×961

задан
16 Сен '13 22:57

показан
991 раз

обновлен
17 Сен '13 16:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru