теория-вероятностей - Зависимость максимума и минимума случайных величин

Утверждать, что величины зависимы, в общем случае нельзя, так как они могут быть постоянными. Однако, в рамках условия задачи, это единственная возможность. Докажем это.

Пусть $%F(x)$% -- функция распределения каждой из случайных величин $%\xi$%, $%\eta$%. Под этим я понимаю вероятность события $%\{\xi\le x\}$% с нестрогим неравенством.

Предположим, что случайные величины $%M=\max(\xi,\eta)$% и $%m=\min(\xi,\eta)$% независимы. Тогда, в частности, имеет место равенство $%P(AB)=P(A)P(B)$%, где $%A$% есть событие $%\{M\le x\}$%, а $%B$% -- событие $%\{m\le x\}$%.

Легко понять, что $%A=AB$%, так как $%m(\omega)\le M(\omega)$% для каждого элементарного события $%\omega$%. Таким образом, $%P(A)=P(A)P(B)$%, то есть $%P(A)=0$% или $%P(B)=1$%.

Первое условие означает, что $%F(x)=0$%, поскольку $%A=\{M\le x\}=\{\xi\le x,\eta\le x\}$%. Ввиду независимости $%\xi$% и $%\eta$%, имеем $%P(A)=F(x)^2$%. Далее, вероятность события $%B$% равна $%1-(1-F(x))^2$% по следующей причине: дополнение события $%B$% состоит в том, что $%m > x$%, то есть $%\xi > x$% и $%\eta > x$%. Вероятность каждого из двух последних событий есть $%1-F(x)$%, а в силу независимости вероятности перемножаются.

Теперь ясно, что условие $%P(B)=1$% равносильно $%F(x)=1$%. В итоге мы доказали, что функция распределения $%F(x)$% в каждой точке принимает значение $%0$% или $%1$%. Из свойств функции распределения вытекает, что она равна $%0$% при всех $%x$% меньших некоторого $%x_0$%, и равна $%1$% при всех $%x\ge x_0$%. Поэтому случайная величина $%\xi$% постоянна, будучи равной $%x_0$% с вероятностью единица.

Вопрос насчёт полусуммы не вполне понятен, так как $%M+m$% тождественно равно $%\xi+\eta$% ввиду тождества $%\max(x,y)+\min(x,y)=x+y$%.