У меня возник такой вопрос. Есть две независимые одинаково распределённые случайные величины $%\xi, \eta$%. Зависимы ли $%\max(\xi,\eta)$% и $%\min(\xi,\eta)$%.

Я считаю, что они зависимы, поскольку $%\max(\xi,\eta)=-\min(-\xi,-\eta)$%.

Но тогда возникает вопрос о нахождении их совместной плотности распределения, поскольку мне надо найти распределение их полусуммы.

Буду признателен за подсказки.

задан 17 Сен '13 8:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\min(\xi,\eta)+\max(\xi,\eta)=\xi+\eta$$ В этом можно убедиться, разобрав отдельно случаи $%\xi\gt\eta$% и $%\xi\le\eta$%. Думаю, после этого найти распределение их полусуммы Вам не составит труда.

ссылка

отвечен 17 Сен '13 8:33

А обобщается ли это как-нибудь на случай более, чем двух случайных величин?

(17 Сен '13 8:40) MathTrbl
1

Для трех уже не работает. В таком случае, видимо, придется смиренно считать свертки и разбирать отдельно все случаи "больше-меньше".

(17 Сен '13 8:41) chameleon

Спасибо за помощь.

(17 Сен '13 8:44) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
1

Утверждать, что величины зависимы, в общем случае нельзя, так как они могут быть постоянными. Однако, в рамках условия задачи, это единственная возможность. Докажем это.

Пусть $%F(x)$% -- функция распределения каждой из случайных величин $%\xi$%, $%\eta$%. Под этим я понимаю вероятность события $%\{\xi\le x\}$% с нестрогим неравенством.

Предположим, что случайные величины $%M=\max(\xi,\eta)$% и $%m=\min(\xi,\eta)$% независимы. Тогда, в частности, имеет место равенство $%P(AB)=P(A)P(B)$%, где $%A$% есть событие $%\{M\le x\}$%, а $%B$% -- событие $%\{m\le x\}$%.

Легко понять, что $%A=AB$%, так как $%m(\omega)\le M(\omega)$% для каждого элементарного события $%\omega$%. Таким образом, $%P(A)=P(A)P(B)$%, то есть $%P(A)=0$% или $%P(B)=1$%.

Первое условие означает, что $%F(x)=0$%, поскольку $%A=\{M\le x\}=\{\xi\le x,\eta\le x\}$%. Ввиду независимости $%\xi$% и $%\eta$%, имеем $%P(A)=F(x)^2$%. Далее, вероятность события $%B$% равна $%1-(1-F(x))^2$% по следующей причине: дополнение события $%B$% состоит в том, что $%m > x$%, то есть $%\xi > x$% и $%\eta > x$%. Вероятность каждого из двух последних событий есть $%1-F(x)$%, а в силу независимости вероятности перемножаются.

Теперь ясно, что условие $%P(B)=1$% равносильно $%F(x)=1$%. В итоге мы доказали, что функция распределения $%F(x)$% в каждой точке принимает значение $%0$% или $%1$%. Из свойств функции распределения вытекает, что она равна $%0$% при всех $%x$% меньших некоторого $%x_0$%, и равна $%1$% при всех $%x\ge x_0$%. Поэтому случайная величина $%\xi$% постоянна, будучи равной $%x_0$% с вероятностью единица.

Вопрос насчёт полусуммы не вполне понятен, так как $%M+m$% тождественно равно $%\xi+\eta$% ввиду тождества $%\max(x,y)+\min(x,y)=x+y$%.

ссылка

отвечен 17 Сен '13 9:07

Спасибо за столь подробный ответ. Этот вопрос у меня возник в процессе решения одной статистической задачи, где требовалось оценить состоятельность оценки, но я уже разобрался, как её решить.

(17 Сен '13 11:22) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,734
×84

задан
17 Сен '13 8:22

показан
1243 раза

обновлен
17 Сен '13 11:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru