математика - Помогите разобраться с факториалами.

Здесь достаточно знать определение факториала и его простейшие свойства. Типа того, что число $%7!$%, будучи произведением чисел от $%1$% до $%7$%, равно произведению $%6!\cdot7$%. Это значит, что $%7!/6!=7$%.

При вычислении отношения $%q$% (которое просто выписывается и подсчитывается) получаются дроби, которые перемножаются, и в которых происходит много сокращений. В итоге там остаётся $%(m-i)!$% в числителе и $%(m-i-1)!$% в знаменателе. Число $%m-i$% на единицу больше, чем число $%m-i-1$%, то есть это аналогично случаю чисел $%7$% и $%6$%. Поэтому при делении здесь и получается $%m-i$%.

Остаётся последний подразумеваемый момент: если отношение $%(i+1)$%-го члена (то есть $%a(i+1)$%) к $%i$%-му (то есть к $%a(i)$%) равно $%m-i$%, то как выразить $%a(i+1)$% через $%a(i)$%? Ясно, что $%a(i+1)=(m-i)\cdot a(i)$%. Это и есть рекуррентная формула, выражающаяся "следующий" член последовательности (с номером $%i+1$%) через предыдущий (то есть через член с номером $%i$%).