Пусть между любыми двумя точками подмножества А сепарабельного метрического пространства Х расстояние не меньше 1. Докажите, что А не более, чем счётно. Заранее спасибо.

задан 7 Фев 16:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Допустим противное, т.е. $%A$% -- более чем счётно. В силу сепарабельности $%X$%, можно найти счётное всюду плотное множество $%\{x_1,x_2,...,x_n,...\}\subset X$%, причём ясно, что $%X=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}B(x_n,\frac{1}{3})$%. Поскольку $%A$% несчётно, то, по-крайней мере пара точек $%x,y\in A$% попадёт в один из шаров, допустим, в $%B(x_k,\frac{1}{3})$%. Тогда $%1\leq\rho(x,y)\leq\rho(x,x_k)+\rho(x_k,y)\leq\frac{2}{3}$%. Противоречие.

ссылка

отвечен 7 Фев 16:17

@caterpillar спасибо, только один момент не понял. Почему мы сможем покрыть весь Х такими окрестностями радиуса 1/3. Почему не найдётся какой-то точки из Х, лежащей от граница нашего счётного подмножества на расстоянии более, чем 1/3?

(7 Фев 16:41) Kirill_Karko...
1

Вам следует подтянуть определения. В частности, что такое всюду плотное множество.

(7 Фев 16:43) caterpillar

@caterpillar спасибо, понял, воспринимал всюду плотное как просто, что между любыми двумя точками найдётся ещё одна

(7 Фев 17:19) Kirill_Karko...

@Kirill_Karko...: для прямой одно будет равносильно другому, что без труда доказывается, а в общем случае нет самого понятия "между".

(7 Фев 19:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×399

задан
7 Фев 16:03

показан
156 раз

обновлен
7 Фев 19:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru