Найти все действительные значения параметра а, для которых неравенство: sqr(x+y) > axy+(x+y)sqrt(sqr(x)+sqr(y)) имеет решение для всех x>0 и y>0

задан 20 Сен '13 17:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

Насколько я понимаю, требуется найти все значения $%a$%, для которых неравенство $$(x+y)^2 > axy+(x+y)\sqrt{x^2+y^2}$$ выполняется для всех положительных $%x$% и $%y$%.

Положим $%u=x+y$%, $%v=\sqrt{x^2+y^2}$%. При этом $%u > v > 0$%. (Можно также показать, что $%u\le v\sqrt{2}$%, но в решении мы это не используем.) Ясно, что $%2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)$%, то есть $%2xy=u^2-v^2$%.

Неравенство из условия задачи можно переписать в виде равносильного следующим образом: $$a < \frac{(x+y)^2-(x+y)\sqrt{x^2+y^2}}{xy}=2\frac{u^2-uv}{u^2-v^2}=\frac{2u}{u+v}.$$ Далее надо исследовать, какое минимальное значение может принимать величина $%2u/(u+v)$%. Ввиду $%v < u$%, будет справедливо неравенство $%2u > u+v$%, то есть $%2u/(u+v) > 1$%. Из этого следует, что для всех $%a\le1$% будет выполняться неравенство из условия задачи при любых $%x,y > 0$%.

Никакие другие значения $%a$% не подойдут, потому что величина $%2u/(u+v)$% может принимать значения, сколь угодно близкие к единице. Это видно из того, что $$\frac{2u}{u+v}=\frac2{1+v/u},$$ но величина $$\frac{v}{u}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x+y}$$ стремится к $%1$% при любом фиксированном $%x > 0$%, если положительное $%y$% устремить к нулю.

ссылка

отвечен 20 Сен '13 19:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516
×460

задан
20 Сен '13 17:48

показан
931 раз

обновлен
20 Сен '13 19:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru