|
С натуральным числом разрешается делать следующие две операции: умножать на любое натуральное число или вычеркивать любые три подряд стоящие одинаковые цифры, если есть еще хотя бы одна ненулевая цифра. Верно ли, что из любого двузначного числа такими операциями можно получить однозначное? задан 15 Фев 1:49 
Казвертеночка |
|
Покажем, что если до операции число делилось на 37, то и после операции оно будет делиться на 37. Если операцией было умножение, то всё очевидно. Иначе это было вычёркивание. Посмотрим на число до и после вычёркивания. Пусть до вычёркивания оно выглядело как $%a\cdot 10^k + \overline{xxx} \cdot 10^{k-3} + b $%, а вычеркнули цифры $%\overline{xxx}$% посередине. Получилось число $%a\cdot 10^{k-3} +b$%. Посмотрим на разность этих чисел. Она равна $$\overline{xxx} \cdot 10^{k-3} + a\cdot 10^{k} - a\cdot10^{k-3} = 37 \cdot 3\cdot x \cdot 10^{k-3} + a\cdot 10^{k-3}\cdot\left(10^3 - 1\right) =$$ $$= 37 \cdot 3\cdot x\cdot 10^{k-3} + a\cdot 10^{k-3}\cdot\left(10^3 - 1\right)= 37\cdot(3x\cdot 10^{k-3}+a\cdot 10^{k-3}\cdot27),$$ что делится на 37. Это значит, что если число до вычёркивания делилось на 37, то и после тоже будет. Таким образом, из числа 37 будут получаться только числа, кратные 37, а однозначных ненулевых чисел, кратных 37, не существует. Значит, из 37 достичь однозначного числа нельзя. отвечен 19 Фев 22:42 
OshalevshiyKeks @OshalevshiyKeks, большое спасибо!
(20 Фев 2:30)
Казвертеночка
1
@Urt: "вычеркивать любые три подряд стоящие одинаковые цифры, если есть еще хотя бы одна ненулевая цифра".
(20 Фев 15:48)
EdwardTurJ
1
@Urt, в вашем примере запрещено вычёркивать 444, потому что не останется ненулевых цифр, что запрещено по условию. UPD. Прощу прощения, не заметил, что уже ответили
(20 Фев 15:49)
OshalevshiyKeks
1
Действительно, если трактовать "еще" по-другому, то требование "хотя бы одной ненулевой цифры" было бы неуместным. По-видимому, без этого ответ будет позитивным.
(20 Фев 16:16)
Urt
|