3
1

С натуральным числом разрешается делать следующие две операции: умножать на любое натуральное число или вычеркивать любые три подряд стоящие одинаковые цифры, если есть еще хотя бы одна ненулевая цифра. Верно ли, что из любого двузначного числа такими операциями можно получить однозначное?

задан 15 Фев 1:49

10|600 символов нужно символов осталось
6

Покажем, что если до операции число делилось на 37, то и после операции оно будет делиться на 37. Если операцией было умножение, то всё очевидно. Иначе это было вычёркивание.

Посмотрим на число до и после вычёркивания. Пусть до вычёркивания оно выглядело как $%a\cdot 10^k + \overline{xxx} \cdot 10^{k-3} + b $%, а вычеркнули цифры $%\overline{xxx}$% посередине. Получилось число $%a\cdot 10^{k-3} +b$%. Посмотрим на разность этих чисел. Она равна $$\overline{xxx} \cdot 10^{k-3} + a\cdot 10^{k} - a\cdot10^{k-3} = 37 \cdot 3\cdot x \cdot 10^{k-3} + a\cdot 10^{k-3}\cdot\left(10^3 - 1\right) =$$ $$= 37 \cdot 3\cdot x\cdot 10^{k-3} + a\cdot 10^{k-3}\cdot\left(10^3 - 1\right)= 37\cdot(3x\cdot 10^{k-3}+a\cdot 10^{k-3}\cdot27),$$ что делится на 37. Это значит, что если число до вычёркивания делилось на 37, то и после тоже будет.

Таким образом, из числа 37 будут получаться только числа, кратные 37, а однозначных ненулевых чисел, кратных 37, не существует. Значит, из 37 достичь однозначного числа нельзя.

ссылка

отвечен 19 Фев 22:42

изменен 20 Фев 0:16

@OshalevshiyKeks, большое спасибо!

(20 Фев 2:30) Казвертеночка
1

А почему недопустимо 37х120=4440->0? Число 0 - не однозначное?

(20 Фев 15:46) Urt
1

@Urt: "вычеркивать любые три подряд стоящие одинаковые цифры, если есть еще хотя бы одна ненулевая цифра".

(20 Фев 15:48) EdwardTurJ
1

@Urt, в вашем примере запрещено вычёркивать 444, потому что не останется ненулевых цифр, что запрещено по условию.

UPD. Прощу прощения, не заметил, что уже ответили

(20 Фев 15:49) OshalevshiyKeks
1

Действительно, если трактовать "еще" по-другому, то требование "хотя бы одной ненулевой цифры" было бы неуместным. По-видимому, без этого ответ будет позитивным.

(20 Фев 16:16) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×24
×24
×22
×3
×3

задан
15 Фев 1:49

показан
160 раз

обновлен
20 Фев 16:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru