Треугольник ABC равнобедренный, угол ABC = arccos(7/9), AC = 10. В треугольнике расположены две окружности, они касаются друг друга внешне и каждая касается основания AC и боковой стороны. Радиус одной окружности в 2 раза больше радиуса другой. Найдите радиусы.

Будьте добры, помогите, а то даже не знаю, что тут сделать. Понятно, что в треугольнике мы можем найти все углы и стороны. Пробовал рассматривать подобные треугольники, опускать медиану, что-то ничего не вышло.

задан 20 Сен '13 19:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%O_1$% и $%O_2$% -- центры касающихся окружностей, а $%D_1$% и $%D_2$% -- их проекции на основание $%AC$%. Обозначим радиусы через $%r$% и $%2r$%. Прежде всего, легко находится расстояние $%D_1D_2$% из прямоугольной трапеции $%O_1O_2D_2D_1$%: в ней нам известны основания и боковая сторона $%O_1O_2=3r$% (ввиду касания окружностей), поэтому высота $%D_1D_2$% легко находится.

Далее вступает в силу тригонометрия: зная косинус угла при вершине $%B$%, находим синус и косинус половинного угла. После этого мы знаем косинус и синус угла $%\varphi$% при основании. Поскольку $%AO_1$% -- биссектриса угла $%BAC$%, величина угла $%O_1AC$% равна $%\varphi/2$%, и у этого угла можно найти тангенс. Зная его, мы выразим через $%r$% длину $%AD_1$%. Аналогично находится $%D_2C$%.

Теперь, складывая $%AD_1$%, $%D_1D_2$% и $%D_2C$%, приравниваем сумму к $%AC=10$% и находим $%r$%.

ссылка

отвечен 20 Сен '13 20:14

10|600 символов нужно символов осталось
0

Найдите тангенс половины угла $%\angle BAC$%... Опустите радиусы на основание (обозначим их $%O_1D=R$% и $%O_2E=2R$%)... зная тангенс и противолежащий катет найдите выражение для $%AD$% и $%EC$% ... из $%O_1$% опустите перпендикуляр на $%O_2E$% (он будет равен $%DE$%) и выразите его через радиусы по теореме Пифагора...

Сложите части и получите $%AC$%... откуда найдёте радиусы...

ссылка

отвечен 20 Сен '13 20:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×560

задан
20 Сен '13 19:26

показан
789 раз

обновлен
20 Сен '13 20:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru