Данная задача размещена в книге Якова Перельмана «Живая математика. Математические рассказы и головоломки». Я лишь изменил местоположение капли меда и мухи, но сохранил численные значения.

На внутренней стороне донышка стеклянной банки, лежащей на боку, виднеется капля мёда в трёх сантиметрах от цилиндрической поверхности сосуда. А на наружной стороне донышка, в точке, диаметрально противоположной, уселась муха. Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли.
Высота банки 20 см; диаметр — 10 см.
Не полагайтесь на то, что муха сама отыщет кратчайший путь и тем облегчит вам решение задачи: для этого ей нужно обладать геометрическими познаниями, слишком обширными для мушиной головы.
Возможно, что, руководясь обонянием, муха действительно будет двигаться по кратчайшему пути. Тогда остается вычислить наименьшее расстояние между мухой и каплей меда. Толщиной стенок банки пренебречь.

задан 16 Фев 18:29

1

Если сделать развёртку, то получится, что муха сначала по плоской наружной поверхности ползёт на границу цилиндра, а потом так же точно по прямой перемещается к капле. В плоском виде, это будет та же задача, что нахождение кратчайшего пути между двумя точками полуплоскости с посещением точки её границы. Здесь получится гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5п и 20. Численно это около 25,43, если не ошибаюсь.

(16 Фев 23:10) falcao
1

@falcao:полагаю, не поняли условие задачи. Муха и капля меда находятся на дне банки, но с разных сторон (снаружи и внутри), а не на поверхности цилиндра. Поэтому вначале мухе надобно пробежать по наружной поверхности дна банки как минимум 3 см до боковой поверхности цилиндра. Затем, когда она заберется внутрь емкости – все наоборот.

(17 Фев 0:28) Buratino
1

@Buratino: да, я пропустил слово "донышка", и подумал о поверхности банки. Такая задача, наверное, тоже имеет смысл, но она, скорее всего, проще.

(17 Фев 2:21) falcao

≈ 46,1432 см

(17 Фев 9:27) Rams

@falcao: с интересом ознакомился бы с этим решением.

@Rams: у меня другие цифры. Предоставьте свой вариант, желательно со схемой, чтобы убедиться в верности Вашего ответа.

(17 Фев 10:26) Buratino
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text alt text

$$ 4=x^{2}+25-10xcos \alpha \Longrightarrow x=5cos \alpha - \sqrt{25 cos^{2} \alpha -21} \\ 2R \beta +40tg \alpha = \pi R \Rightarrow \beta = \frac{ \pi }{2} - 4tg \alpha ; \\ \frac{x}{sin \beta } = \frac{2}{sin \alpha } ; (5cos \alpha - \sqrt{25 cos^{2} \alpha -21}) sin \alpha = 2sin \beta ; \\ (5cos \alpha - \sqrt{25 cos^{2} \alpha -21}) sin \alpha = 2cos(4tg \alpha ) ; \alpha \approx 15,5^{o}; \\ L=10cos15,5^{o}-2 \sqrt{25 cos15,5^{o} -21} + 40/cos15,5^{o} \approx 48.17 $$

ссылка

отвечен 17 Фев 12:09

изменен 19 Фев 13:18

@Rams: почему левая часть второго уравнения равна πr?

(18 Фев 11:04) Buratino

@Buratino Я ошибся. Для облегчения задачи сначала я представил банку высотой 23 см и диаметром 4 см. При вычислении забыл изменить радиус. Спасибо большое. Исправил.

(18 Фев 12:52) Rams

@Rams: почему левая часть второго уравнения равна πR?

(18 Фев 14:13) Buratino

@Buratino Может я неправильно понял задачу. Я представил расположения мухи и меда как на рисунке: alt text

(18 Фев 14:40) Rams

@Rams: правильно поняли задачу, расположения мухи и меда как на рисунке.

(18 Фев 14:55) Buratino

@Buratino Я рассуждал так: "В задаче две симметричные дороги. Их проекции на вертикальный ось дает длину окружности основания цилиндра". Но только сейчас заметил, что пропустил что-то. По быстрому просмотру теперь у меня получилось: alpha=15,5°; L=48,17 см. /Хотел сравнить с Вашим ответом/.

(19 Фев 8:01) Rams

@Rams: наши значения совпадают, можете внести изменение в ответ.

(19 Фев 11:07) Buratino
1

@Rams: решение верное. У меня вариант несколько проще, но в любом случае - «все дороги ведут в Рим».

(20 Фев 16:51) Buratino
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,789
×3,002

задан
16 Фев 18:29

показан
157 раз

обновлен
20 Фев 16:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru