|
Данная задача размещена в книге Якова Перельмана «Живая математика. Математические рассказы и головоломки». Я лишь изменил местоположение капли меда и мухи, но сохранил численные значения. На внутренней стороне донышка стеклянной банки, лежащей на боку, виднеется капля мёда в трёх сантиметрах от цилиндрической поверхности сосуда. А на наружной стороне донышка, в точке, диаметрально противоположной, уселась муха.
Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли. задан 16 Фев 18:29 
Buratino |
|
$$ 4=x^{2}+25-10xcos \alpha \Longrightarrow x=5cos \alpha - \sqrt{25 cos^{2} \alpha -21} \\ 2R \beta +40tg \alpha = \pi R \Rightarrow \beta = \frac{ \pi }{2} - 4tg \alpha ; \\ \frac{x}{sin \beta } = \frac{2}{sin \alpha } ; (5cos \alpha - \sqrt{25 cos^{2} \alpha -21}) sin \alpha = 2sin \beta ; \\ (5cos \alpha - \sqrt{25 cos^{2} \alpha -21}) sin \alpha = 2cos(4tg \alpha ) ; \alpha \approx 15,5^{o}; \\ L=10cos15,5^{o}-2 \sqrt{25 cos15,5^{o} -21} + 40/cos15,5^{o} \approx 48.17 $$ отвечен 17 Фев 12:09 
Rams @Buratino Я ошибся. Для облегчения задачи сначала я представил банку высотой 23 см и диаметром 4 см. При вычислении забыл изменить радиус. Спасибо большое. Исправил.
(18 Фев 12:52)
Rams
@Buratino Может я неправильно понял задачу. Я представил расположения мухи и меда как на рисунке:
(18 Фев 14:40)
Rams
@Buratino Я рассуждал так: "В задаче две симметричные дороги. Их проекции на вертикальный ось дает длину окружности основания цилиндра". Но только сейчас заметил, что пропустил что-то. По быстрому просмотру теперь у меня получилось: alpha=15,5°; L=48,17 см. /Хотел сравнить с Вашим ответом/.
(19 Фев 8:01)
Rams
показано 5 из 8
показать еще 3
|
Если сделать развёртку, то получится, что муха сначала по плоской наружной поверхности ползёт на границу цилиндра, а потом так же точно по прямой перемещается к капле. В плоском виде, это будет та же задача, что нахождение кратчайшего пути между двумя точками полуплоскости с посещением точки её границы. Здесь получится гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5п и 20. Численно это около 25,43, если не ошибаюсь.
@falcao:полагаю, не поняли условие задачи. Муха и капля меда находятся на дне банки, но с разных сторон (снаружи и внутри), а не на поверхности цилиндра. Поэтому вначале мухе надобно пробежать по наружной поверхности дна банки как минимум 3 см до боковой поверхности цилиндра. Затем, когда она заберется внутрь емкости – все наоборот.
@Buratino: да, я пропустил слово "донышка", и подумал о поверхности банки. Такая задача, наверное, тоже имеет смысл, но она, скорее всего, проще.
≈ 46,1432 см
@falcao: с интересом ознакомился бы с этим решением.
@Rams: у меня другие цифры. Предоставьте свой вариант, желательно со схемой, чтобы убедиться в верности Вашего ответа.