Какие выводы можно сделать о возможных индексах подгрупп группы, если известно что эта группа простая и неразрешимая?

задан 18 Фев 2:26

Если в конечной группе есть подгруппа H индекса n > 1, то есть нормальная подгруппа N индекса <=n!, содержащаяся в H. Если при этом G проста, то N не может быть единичной. Отсюда вытекает ограничение на индексы. Скажем, в A5 нет подгрупп индекса n=2, 3, 4 ввиду того, что порядок A5 строго больше n!.

(18 Фев 9:34) falcao

@falcao: А если, например, G бесконечна?

(18 Фев 10:15) Ekleptik

@Ekleptik: тогда подгрупп конечного индекса в простой группе быть не может по той же причине (нормальная подгруппа N конечного индекса <=n! будет бесконечной, а потому неединичной).

(18 Фев 12:48) falcao

@falcao: напомните, пожалуйста, как устроена эта подгруппа N?

(18 Фев 16:15) Ekleptik

@Ekleptik: рассмотрим правые смежные классы по H. Группа G действует на их множестве умножениями справа, и как-то их переставляет, что даёт гомоморфизм в группу подстановок S_n. Его ядро -- это и есть N. Она нормальна в G, имеет индекс <=n!, и содержится в H. Это стандартная конструкция, которая здесь стоит как бы "за кадром".

(18 Фев 21:50) falcao

@falcao: извините, почему N содержится в H?

(19 Фев 16:55) Ekleptik

@Ekleptik: элементы из N индуцируют тождественную подстановку. Каждый смежный класс остаётся на месте. В частности, это касается H, откуда Hg=H. Значит, элемент g из ядра принадлежит H. (Здесь можно было самому восстановить рассуждение -- это "одноходовка".)

(19 Фев 18:22) falcao

@falcao: Да, точно) ещё вопрос: "N конечного индекса <=n! будет бесконечной, а потому неединичной" - почему бесконечной? Нельзя тут сказать просто, что гомоморфизм в группу подстановок - конечную - явно не инъективен в силу бесконечности G?

(20 Фев 19:03) Ekleptik

@Ekleptik: если группа бесконечна, то любая её подгруппа конечного индекса бесконечна. Это совсем простой факт: мощность G равна произведению мощностей H и G:H. Конечно, из рассмотрения гомоморфизма следует, что N неединична, но её бесконечность -- факт более сильный (и очевидный).

(20 Фев 22:45) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,141
×926

задан
18 Фев 2:26

показан
67 раз

обновлен
20 Фев 22:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru