Сколько корней имеет уравнение $%x= \begin{bmatrix} \frac{x}{2} \\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{x}{3} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{x}{5} \\ \end{bmatrix} $% где $% \begin{bmatrix} x \\ \end{bmatrix} $%-целая часть числа $%x$%

Первый раз решаю такое задание,каким способом его решать, просто анализировать? я представил $%x= \begin{bmatrix}x \\ \end{bmatrix}+ \big(x\big); \big(x\big) - $%дробная часть числа $%x$%

Откуда $% \begin{bmatrix} \frac{1}{30}x \\ \end{bmatrix}=\big(x\big) $%-это правильно?

задан 21 Сен '13 11:55

Falcao огромное спасибо Вам $%:)$%

(21 Сен '13 15:24) Dragon65
10|600 символов нужно символов осталось
1

Из условия следует, что $%x$% целое, так как оно равно сумме целых чисел.

Разделим $%x$% с остатком на $%30$%, записывая $%x=30q+r$%, где $%q$% -- целое число (неполное частное), $%r$% -- остаток, т.е. $%0\le r < 30$%. Число $%r$% принимает $%30$% различных значений: от $%0$% до $%29$% включительно.

Поскольку $%x/2=15q+r/2$%, и число $%15q$% целое, справедливо равенство $%[x/2]=15q+[r/2]$%. Аналогично, $%[x/3]=10q+[r/3]$%, $%[x/5]=6q+[r/5]$%. Подстановка в уравнение даёт $$30q+r=15q+[r/2]+10q+[r/3]+6q+[r/5],$$ то есть $$q=r-[r/2]-[r/3]-[r/5],$$ где $%q$% однозначно выражается через $%r$%, являясь при этом целым. Перебирая все $%30$% значений, которые принимает $%r$%, мы по этой формуле находим $%q$% и далее выражаем $%x$%. Например, если $%r=9$%, то $%q=9-[9/2]-[9/3]-[9/5]=9-4-3-1=1$%, откуда $%x=30q+r=39$%. А если $%r=15$%, то $%q=15-[15/2]-[15/3]-[15/5]=15-7-5-3=0$%, откуда $%x=15$%.

Это значит, что решений будет ровно $%30$%: разным значениям $%r$% соответствуют разные решения $%x=30q+r$%, так как у них будут разные остатки от деления на $%30$%. При желании, все такие решения можно выписать.

ссылка

отвечен 21 Сен '13 12:26

изменен 21 Сен '13 14:42

а почему именно на $%30$% Вы $%x$% разделили? и также я не понял почему $%r$% принимает(при делении на $%30$%) все значения от $%0$% до $%30$%

(21 Сен '13 12:54) Dragon65

я пока не настолько умный чтоб этот анализ сразу понять $%:)$%

(21 Сен '13 13:07) Dragon65

@Dragon65: я разделил на $%30$% по той причине, что $%2\cdot3\cdot5=30$% (общий знаменатель дробей). То, что $%r$% принимает все значения от $%0$% до $%30$%, это не так: на самом деле от $%0$% до $%29$% включительно (в текст вкралась опечатка). И таких значений по количеству всего $%30$% (поскольку учитывается $%0$%). Думаю, что понять это решение не должно быть трудно.

(21 Сен '13 14:41) falcao

Я понял что 29 и 0 в сумме по количеству дают 30 )))

почему конкретно $%r$% принадлежит от 0 до 29?

почему также справедливо равенство: $% \begin{bmatrix} \frac{x}{2} \ \end{bmatrix}= 15q + \begin{bmatrix} \frac{r}{2} \ \end{bmatrix} $%

(21 Сен '13 14:48) Dragon65

@Dragon65: на неформальном уровне можно объяснить так. Пусть у нас есть 100 конфет, и мы их хотим раздать поровну на 30 человек. Ясно, что сделать это нельзя, так как 100 не делится нацело на 30. Мы раздадим тогда по 3 конфеты каждому, и у нас останется 10 в общем пользовании. Допустим, туда поступит ещё 25 конфет и станет 35. Тогда раздадим ещё по одной, и в "общаке" останется 5. Остаток меньше 30 по той простой причине, что при наличии 30 конфет их можно раздать каждому по одной. А вообще-то это просто определение остатка. (Продолжение следует)

(21 Сен '13 15:08) falcao

(из Википедии)Разделить целое число $%a$%, на натуральное число $%0 < b < a$%, с остатком означает представить его в виде:$%a=bq+r$% $%0 \leq r < b$%-есть доказательство того, что $%r$% действительно принадлежит этому множеству? а также можно же число $%a$% разделить на такое b, что $%b>a$%, тогда остаток будет равен чему?($%a$%что ли?)

(21 Сен '13 15:13) Dragon65

@Dragon65: равенство, о котором Вы говорите, справедливо в силу свойства целой части числа. Оно таково: если к числу прибавить некое целое, то целая часть возрастёт ровно на эту же величину. Например, $%[\pi]=[3,14...]=3$%; если мы к $%\pi$% прибавим, скажем, $%12$%, то получим $%[\pi+12]=[15,14...]=15$%: целая часть увеличилась тоже на $%12$%. В общем виде это выглядит так: $%[a+k]=[a]+k$% при любом целом $%k$%. У нас было $%x/2=15q+r/2$%, где $%15q$% целое. Отсюда $%[x/2]=[15q+r/2]=15q+[r/2]$%, то есть целочисленное слагаемое мы вынесли за знак целой части.

(21 Сен '13 15:13) falcao

@Dragon65: в курсах теории чисел доказывается теорема о делении с остатком, которая гласит, что представление числа $%a$% в виде $%a=bq+r$%, где $%q$% и $%r$% целые, и $%0\le r < b$%, существует и единственно. Подробности см. в учебниках, но "на пальцах" должно быть ясно и сейчас. Мы из $%a$% вычитаем $%b$% несколько раз, пока не окажется, что дальше вычитать нельзя -- в смысле того, что получатся отрицательные числа. Если мы вычли $%b$% ровно $%q$% раз, то осталось число $%r$%, которое неотрицательно, и при этом вычесть $%b$% ещё раз нельзя, то есть $%r < b$%.

(21 Сен '13 15:18) falcao

Ограничение $%b < a$% на самом деле не нужно. Если я делю меньшее натуральное число на большее, то (неполное) частное равно нулю, а остаток равен самому числу. При делении $%a$% на себя частное равно 1, остаток равен нулю.

(21 Сен '13 15:20) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

В дополнение к ответу @falcao, можно ещё заметить, что $$r-q =[r/2]+[r/3]+[r/5]\ge\frac{31r}{30}-1/2-2/3-4/5,$$ откуда следует, что $%q\in\{0;1\}$%... А из указанного числа решений следует, что из пары $%r$% и $%r+30$% ровно одно число является корнем...

ссылка

отвечен 21 Сен '13 13:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×338

задан
21 Сен '13 11:55

показан
653 раза

обновлен
21 Сен '13 15:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru