Найти область значений функции $%y=log_{2x-1}x$%.

задан 19 Фев 1:54

изменен 19 Фев 23:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

В условии написано правильно (область значений), а в заголовке бессмысленно (как будто значение всего одно).

По ОДЗ имеем $%x > \frac12$%, $%x\ne1$%. При этих условиях $%y=\frac{\ln x}{\ln(2x-1)}$%.

При стремлении $%x$% к $%\frac12$% справа, знаменатель стремится к минус бесконечности, а числитель к $%-\ln 2$%. Дробь при этом стремится к нулю.

При $%x\in(\frac12;1)$% числитель и знаменатель отрицательны, и частное положительно. При этом $%x > 2x-1$%, $%\ln x > \ln(2x-1)$%, $%0 < -\ln x < -\ln(2x-1)$%, откуда $%y < 1$%.

При $%x\in(1,\infty)$% числитель и знаменатель положительны, причём $%x < 2x-1$%, откуда снова имеем $%y < 1$%. Таким образом, $%y\in(0,1)$% на всей области определения.

Значение $%y=\frac12$% функцией не принимается. В самом деле, получается уравнение $%2\ln x=\ln(2x-1)$%, что возможно только при $%x^2=2x-1$%, то есть $%(x-1)^2=0$%. Однако у нас $%x=1$% не принадлежит области определения.

Наконец, рассмотрим предел функции $%y=y(x)$% при $%x\to1$%. Полагаем $%x=1+t$%, где $%t\to0$%. Тогда $%\ln x=\ln(1+t)\sim t$% и $%\ln(2x-1)=\ln(1+2t)\sim2t$%, откуда $%y\to\frac12$%. Это значит, что функция $%g(x)$%, равная $%y(x)$% при $%x\ne1$%, и равная $%\frac12$% при $%x=1$%, непрерывна на $%(\frac12;\infty)$%.

При $%x\to+\infty$% имеем $%g(x) > \frac{\ln x}{\ln(2x)}=\frac{\ln x}{\ln x+\ln2}$%, что стремится к 1, так как логарифм стремится к бесконечности. Ввиду $%g(x) < 1$%, получаем, что предел функции на бесконечности равен 1. С учётом непрерывности и сказанного выше, получается, что множество значений $%g$% равно $%(0,1)$%.

Для функции $%y$% множество значений отличается одной точкой, и оно равно $%(0,\frac12)\cup(\frac12,1)$%.

ссылка

отвечен 19 Фев 2:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,886
×255

задан
19 Фев 1:54

показан
77 раз

обновлен
19 Фев 23:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru