алгебра - Конечность множества нулей

Докажите, что неприводимый в $%\mathbb C[x,y]$% многочлен $%f(x,y)$% не может обнуляться вместе с обеими производными в бесконечном числе точек.

При этом известно, что если два многочлена из того же кольца обнуляются в бесконечном числе точек, то они имеют общий непостоянный фактор.

В предположении обратного получаем $%f(x,y)=f_x(x,y)p(x,y)$% где $%p(x,y)$% непостоянен, а т.к. $%f$% неприводим, $%f_x(x,y)=const$%. Так же получается $%f_y(x,y)=const$% Но отсюда только следует, что $%f=ax+by+c$%...

Стоп, или постоянность производных влечет их равенство нулю (т.к. мы предполагали, что у них есть общий нуль)?