Одним из традиционных определений аффинного преобразования плоскости является такое: преобразование называется аффинным, если оно биективно и каждую прямую переводит в прямую. А существует ли небиективное преобразование, которое каждую прямую переводило бы в прямую?

задан 19 Фев 10:58

Желательно уточнить смысл свойства "прямая переходит в прямую". Оно может означать как то, что прямая отображается НА прямую, и тогда свойство биективности, скорее всего, излишне. А может под эти пониматься то, что три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, через которые также проходит хотя бы одна прямая. Тогда понятно, что есть не биективные преобразования.

У меня есть также сомнения в самом смысле определения. Вроде бы, там есть ещё условие сохранения параллельности -- а то проективные преобразования могут подойти.

(19 Фев 18:38) falcao

Имеется в виду как раз "НА." Как тогда получить биективность? И да, действительно, кое-где дают определение с добавлением требования сохранения параллельности. Но тогда, кажется, и биективность легко выводится. Что касается проективных -- они же действуют на проективной плоскости, так что тут они не подойдут, поскольку мы говорим о преобразованиях обычной аффинной плоскости, без бесконечно удаленных точек.

(19 Фев 19:06) userded

Если две точки переходят в одну, то прямая, их соединяющая, перейдёт в точку. Отсюда следует инъективность. Сюръективность также легко проверяется геометрически.

(19 Фев 19:23) falcao

"Если две точки переходят в одну, то прямая, их соединяющая, перейдёт в точку."

В этом рассуждении используются какие-то другие объекты, кроме прямой, которая соединяет точки? Потому что неинъективных преобразований, которые отображают прямую на прямую много

(19 Фев 19:42) userded

@userded: то, что прямая здесь отображается на прямую линейно, выводится из общих фактов. Я не знаю, в какой мере уместно здесь прорисовывать все детали.

(19 Фев 20:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025

задан
19 Фев 10:58

показан
49 раз

обновлен
19 Фев 20:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru