|
Одним из традиционных определений аффинного преобразования плоскости является такое: преобразование называется аффинным, если оно биективно и каждую прямую переводит в прямую. А существует ли небиективное преобразование, которое каждую прямую переводило бы в прямую? задан 19 Фев 10:58 
userded |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
19 Фев 10:58
показан
49 раз
обновлен
19 Фев 20:27
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Желательно уточнить смысл свойства "прямая переходит в прямую". Оно может означать как то, что прямая отображается НА прямую, и тогда свойство биективности, скорее всего, излишне. А может под эти пониматься то, что три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, через которые также проходит хотя бы одна прямая. Тогда понятно, что есть не биективные преобразования.
У меня есть также сомнения в самом смысле определения. Вроде бы, там есть ещё условие сохранения параллельности -- а то проективные преобразования могут подойти.
Имеется в виду как раз "НА." Как тогда получить биективность? И да, действительно, кое-где дают определение с добавлением требования сохранения параллельности. Но тогда, кажется, и биективность легко выводится. Что касается проективных -- они же действуют на проективной плоскости, так что тут они не подойдут, поскольку мы говорим о преобразованиях обычной аффинной плоскости, без бесконечно удаленных точек.
Если две точки переходят в одну, то прямая, их соединяющая, перейдёт в точку. Отсюда следует инъективность. Сюръективность также легко проверяется геометрически.
"Если две точки переходят в одну, то прямая, их соединяющая, перейдёт в точку."
В этом рассуждении используются какие-то другие объекты, кроме прямой, которая соединяет точки? Потому что неинъективных преобразований, которые отображают прямую на прямую много
@userded: то, что прямая здесь отображается на прямую линейно, выводится из общих фактов. Я не знаю, в какой мере уместно здесь прорисовывать все детали.