|
Пусть H - подгруппа в группе G. Как доказать, что отображение xH -> Hx^-1 задает биекцию между множеством левых и множеством правых смежных классов G по H? задан 19 Фев 19:04 
1806 |
|
Если подробнее, то здесь сначала надо проверить корректность задания такого отображения между множествами правых и левых классов, то есть независимость результата от выбора представителя класса. Это следует из цепочки: $$ x_1H=x_2 H\Rightarrow x_2^{-1}x_1 \in H \Rightarrow x_2^{-1}(x_1^{-1})^{-1} \in H \Rightarrow Hx_1^{-1}=Hx_2^{-1}.$$ Здесь был использован критерий принадлежности элементов одному смежному классу (сначала -- левому, потом -- правому). Теперь инъективность. Предположим, два левых класса $%x_1H$% и $%x_2H$% перейдут при этом отображении в один и тот же правый смежный класс, то есть $%Hx_1^{-1}=Hx_2^{-1}.$% Пройдя по этой же цепочке справа налево (это ведь равносильные утверждения!), мы получим $%x_1H=x_2 H.$% Значит отображение инъективно. Для доказательства сюръективности надо уметь предъявить прообраз любого правого смежного класса. Пусть дан правый класс $%Hy.$% Несложно видеть, что в него перейдет левый класс $%y^{-1}H.$% отвечен 19 Фев 20:19 
userded @userded: можно не проверять корректность, если учесть, что отображение ведётся по принципу A->A^{-1}. То есть оно зависит только от множества, и совершенно не важно, в каком виде оно записано. А потом уже берём левый смежный класс, записываем его в виде xH (однозначно ли -- несущественно), после чего (xY)^{-1}=H^{-1}x^{-1}=Hx^{-1} по свойству подгрупп. Образом является правый смежный класс.
(19 Фев 20:24)
falcao
Вы, по сути, тоже проверяете корректность. А именно то, что левый смежный переходит именно в правый, а не во что-то там ещё. Но это ведь всё очевидно )
(19 Фев 20:29)
userded
@userded: здесь всё действительно очевидно, но проверка корректности тут лишняя. Я её как раз не проверяю. У Вас показано, что если один и тот же смежный класс записать двумя разными способами, то образ будет один и тот же. Такое соображение иногда используется, но здесь оно явно лишнее, если само отображение задавать по другому правилу.
(19 Фев 21:50)
falcao
|
Здесь рассматривается отображение вида A->A^{-1}, где множеству A сопоставляется множество всех обратных элементов. Такое отображение биективно, так как оно само себе обратно.