Докажите, что $$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x}}} = \sqrt 5 \pi .$$

задан 19 Фев 22:29

изменен 20 Фев 0:47

dx пропущено

(20 Фев 0:41) falcao

спасибо, исправил

(20 Фев 0:48) Igore

Интересно, где такой интеграл может встречаться? 10-степень. Похоже на ночной бред сумасшедшего профессора.

(20 Фев 9:19) slava_psk

@slava_psk: здесь ведь речь идёт об определённом интеграле, а такое вычисление возможно для любого показателя степени методами ТФКП.

(20 Фев 12:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Сперва замена $%t=\text{tg}x$% приводит к интегралу $%\displaystyle\int\limits_0^\infty \dfrac{(1+t^2)^4}{1+t^{10}}dt=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{(1+t^2)^4}{1+t^{10}}dt$%. Затем применяем стандартную технику вычетов (степень знаменателя на 2 единицы больше степени числителя, так что всё корректно). Интеграл будет равен $%2\pi i\displaystyle\sum\limits_{k=0}^4\underset{z_k}{\text{res}}\dfrac{(1+z^2)^4}{1+z^{10}}$%, где $%z_k=e^{i\cdot\frac{\pi+2\pi k}{10}}$%, $%k=0,1,2,3,4$% -- простые полюса (нули знаменателя в верхней полуплоскости). Применяя формулу $%\underset{z_k}{\text{res}}\dfrac{(1+z^2)^4}{1+z^{10}}=\dfrac{(1+z_k^2)^4}{10z_k^{9}}$% и проводя элементарные преобразования, получим, что интеграл будет равен $%\dfrac{32\pi}{5}\left(\cos^4\dfrac{\pi}{10}-\cos^4\dfrac{3\pi}{10}\right)$%. Учитывая, что $%\cos\dfrac{\pi}{10}=\sqrt{\dfrac{5}{8}+\dfrac{\sqrt5}{8}}$%, $%\cos\dfrac{3\pi}{10}=\sqrt{\dfrac{5}{8}-\dfrac{\sqrt5}{8}}$%, получаем, что интеграл равен $%2\pi\sqrt5$%. Если значения косинусов углов не предполагаются известными, то легко их вывести, например из равенства $%\sin\dfrac{2\pi}{10}=\cos\dfrac{3\pi}{10}$%, применяя формулы двойного и тройного угла и получая для $%\sin\dfrac{\pi}{10}$% квадратное уравнение.

ссылка

отвечен 20 Фев 10:26

спасибо///

(20 Фев 17:20) Igore
10|600 символов нужно символов осталось
3

Ниже более традиционное решение для тех, кто не знает или не хочет использовать вычеты. Понижая степени, приводим подынтегральное выражение к виду $$16\, \left( 5\, \left( \cos \left( 2\,x \right) \right) ^{4}+10\, \left( \cos \left( 2\,x \right) \right) ^{2}+1 \right) ^{-1}$$ Далее делаем в интеграле замену $$u=\\tg \left( 2\,x \right)$$ и приходим к интегралу от рациональной функции $$\int \!8\,{\frac {{u}^{2}+1}{{u}^{4}+12\,{u}^{2}+16}}\,{\rm d}u$$ Дальнейшее решение стандартное.

ссылка

отвечен 20 Фев 12:41

спасибо///

(20 Фев 17:21) Igore
10|600 символов нужно символов осталось
0

Математика отражает реальный мир. Что может отражать функция синус в 10-й степени? Или, напрмер, 100-я производная от функции?

ссылка

отвечен 20 Фев 12:49

@slava_psk: да что угодно может отражать. Например, интегралы от тригонометрических функций сложного вида возникают в чисто комбинаторной задаче о подсчёте числа счастливых билетов. А n-я производная отражает как минимум точность приближения функций при помощи рядов.

(20 Фев 13:38) falcao

Нигде в приложениях 10-ю степень от тригонометрической функции не встречал. Может вы встречали?

(20 Фев 14:06) slava_psk
2

@slava_psk: я Вам указал одно из вполне конкретных приложений. Можно сюда же добавить метод тригонометрических функций Виноградова, применённый для решения сложных вопросов теории чисел.

Вообще, такой подход напоминает лозунги печально известных времён, когда говорилось, что надо повышать урожайность культур, а не заниматься изучением мух :)

Действительность так устроена, что в науке важно ВСЁ.

(20 Фев 14:19) falcao

falcao, я имел в виду физическое приложение. Например, решение такой-то физической задачи приводит к функции cos(x)^10.

(20 Фев 14:31) slava_psk
1

@slava_psk: а почему непременно физическое? Хотя даже там бывают достаточно сложные интегралы. Например, бета-функция точно возникает много где, а там произведение от любых степеней косинуса и синуса под знаком интеграла.

Я вот в таких случаях всегда вспоминаю один яркий пример. В мою школьную бытность, в "Кванте" помещались заметки о том, что найдено очередное "огромное" простое число. Считалось, что интерес это имеет чисто "спортивный". Вскоре придумали RSA-алгоритм, который основан на генерации больших простых чисел, и мы его используем чуть ли не ежедневно.

(20 Фев 15:12) falcao

falcao, сдаюсь.

(20 Фев 15:14) slava_psk
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,309

задан
19 Фев 22:29

показан
138 раз

обновлен
20 Фев 17:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru