Как с помощью равенства Парсеваля можно найти сумму ряда $%\frac{1}{n^6}$%?

задан 20 Фев 17:48

10|600 символов нужно символов осталось
3

Известно, что $%\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sin nx}{n}=\dfrac{\pi-x}{2}$% при $%x\in(0,2\pi)$%. Проинтегрируем это разложение почленно на промежутке $%(0,x)$% и получим, что $%\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1-\cos nx}{n^2}=\dfrac{\pi x}{2}-\dfrac{x^2}{4}$%. Отсюда следует, что $%\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos nx}{n^2}=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{\pi x}{2}+\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{\pi x}{2}+\dfrac{x^2}{4}$%. Снова проинтегрируем и получим, что $%\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sin nx}{n^3}=\dfrac{\pi^2x}{6}-\dfrac{\pi x^2}{4}+\dfrac{x^3}{12}=f(x)$%. К функции $%f(x)$% и коэффициентам $%b_n=\dfrac{1}{n^3}$% применяем равенство Парсеваля. Ответ $%\dfrac{\pi^6}{945}$%.

ссылка

отвечен 20 Фев 18:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×9

задан
20 Фев 17:48

показан
66 раз

обновлен
20 Фев 18:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru