|
Приветствую! Доказать, что если линейный оператор φ в n-мерном пространстве имеет n различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с φ, имеет базис, состоящий из его собственных векторов. задан 21 Фев 12:31 
Molotov |
|
Здесь можно рассуждать как на языке матриц, так и на языке операторов. Первый способ похож на рассуждение, которое многократно встречалось на форуме -- это когда находят матрицы, перестановочные с каждой, и они оказываются скалярными. Я изложу второе рассуждение, на языке операторов. Из того, что все собственные значения различны, следует, что все собственные подпространства одномерны. Предположим, что AB=BA. Подействуем на i-й собственный вектор A, для которого собственное значение равно k(i). Имеем Ae(i)=k(i)e(i), и отсюда ABe(i)=BAe(i)=k(i)Be(i). Это значит, что Be(i) принадлежит (одномерному) собственному подпространству, которое порождено e(i). То есть при любом i, вектор Be(i) пропорционален e(i) с каким-то коэффициентом (последний может быть совершенно любым). То есть e(i) -- собственный вектор для B при всех i, а потому B имеет базис из собственных векторов (то же самый, который был). отвечен 21 Фев 14:32 
falcao |
спрошу для повышения образования... а что такое "базис оператора"?... или я не правильно понял условие?...
@all_exist: это, конечно, небрежность формулировки, так как базис может иметь только пространство. С другой стороны, это можно считать допустимой вольностью речи, считая слово "имеет" заменителем квантора существования. Типа: составное число имеет нетривиальное разложение на множители.