Приветствую!

Доказать, что если линейный оператор φ в n-мерном пространстве имеет n различных собственных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с φ, имеет базис, состоящий из его собственных векторов.

задан 21 Фев 12:31

спрошу для повышения образования... а что такое "базис оператора"?... или я не правильно понял условие?...

(21 Фев 14:14) all_exist

@all_exist: это, конечно, небрежность формулировки, так как базис может иметь только пространство. С другой стороны, это можно считать допустимой вольностью речи, считая слово "имеет" заменителем квантора существования. Типа: составное число имеет нетривиальное разложение на множители.

(21 Фев 14:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь можно рассуждать как на языке матриц, так и на языке операторов.

Первый способ похож на рассуждение, которое многократно встречалось на форуме -- это когда находят матрицы, перестановочные с каждой, и они оказываются скалярными. Я изложу второе рассуждение, на языке операторов.

Из того, что все собственные значения различны, следует, что все собственные подпространства одномерны. Предположим, что AB=BA. Подействуем на i-й собственный вектор A, для которого собственное значение равно k(i). Имеем Ae(i)=k(i)e(i), и отсюда ABe(i)=BAe(i)=k(i)Be(i). Это значит, что Be(i) принадлежит (одномерному) собственному подпространству, которое порождено e(i). То есть при любом i, вектор Be(i) пропорционален e(i) с каким-то коэффициентом (последний может быть совершенно любым). То есть e(i) -- собственный вектор для B при всех i, а потому B имеет базис из собственных векторов (то же самый, который был).

ссылка

отвечен 21 Фев 14:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,387

задан
21 Фев 12:31

показан
31 раз

обновлен
21 Фев 14:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru