Образуют ли идеал необратимы элементы кольца $$\mathbb{C}[x]?$$ Подскажите, пожалуйста, как решать, они же вроде бы будут образовывать, потому что если многочлен с комплексными коэффициентами необратим, то если его на что-то умножить, то он всё равно будет необратим? И, если не сложно, можете, пожалуйста, привести любой пример каких-нибудь обратимых многочленов, а то я не могу понять что это за существо такое.

задан 21 Фев 21:48

изменен 21 Фев 21:48

Обратимые элементы кольца многочленов над полем описываются совсем просто: это отличные от нуля константы (элементы самого поля). Утверждение очевидно в обе стороны. Понятно, что многочлен степени >=1 после домножения на что-то не может стать равным 1, что следует из простейшего утверждения -- степень произведения равна сумме степеней.

Ясно, что никакого идеала в C[x] необратимые элементы не образуют. Многочлены 1+x и x необратимы в кольце, но их разность равна 1. То есть сам вопрос не имеет серьёзного смысла: утверждаемое слишком далеко от истины.

(21 Фев 22:07) falcao

@falcao если честно, запутался окончательно, я думал, что идеал засасывает в себя, когда мы умножаем и просто проверял по определению, т.е. x необратим, умножаем на многочлен и он тоже станет необратим, т.е. будет принадлежать множеству необратимых элементов, т.е. попадёт внутрь. И не могу найти противоречий, точнее возможно проблема в операции, которую я выполняю. Правильно ли, что это умножение?

(21 Фев 23:00) Kirill_Karko...

До этого видел под одним их похожих постов Ваш комментарий, что подмножество J в кольце его идеал, тогда и только тогда, когда разность принадлежит J и левые и правые произведения принадлежат R, тогда действительно выходи, что это не так. Но ошибку так и не могу понять

(21 Фев 23:01) Kirill_Karko...

@Kirill_Karko...: в конце Вы написали то, что нужно. То есть вспомнили материал "Букваря", который включает в себя 1) определение идеала 2) критерий идеала 3) основные примеры идеалов, включая главные идеалы.

Дело в том, что Вы проверяете только одно свойство (домножение), а любой необратимый элемент после домножения на что угодно остаётся обратимым. Но для идеала должно быть выполнено два условия. То, которое про разность, здесь нарушается с очевидностью, что я выше и показал.

Да, и говорите правильно: подмножество J принадлежащее кольце есть дважды безграмотный оборот.

(21 Фев 23:09) falcao

@Kirill_Karko...: я заметил, что Вы внесли исправление в комментарий. Но это касается орфографической ошибки, а принципиальная математическая ошибка не исправлена. Предлагаю осознать самостоятельно, в чём она заключается (и, конечно, никогда её далее не совершать после осознания).

(21 Фев 23:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,788

задан
21 Фев 21:48

показан
36 раз

обновлен
21 Фев 23:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru