$%\begin{array}{l} {\text{Верно ли}}{\text{, что если НОД}}\left( {m,n} \right) = 1,{\text{ то НОД}}\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^m} - {a^m},{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}} \right) = 1? \hfill \\ a,m,n \in \mathbb{N} \hfill \\ \end{array}$%

задан 21 Фев 22:22

изменен 21 Фев 22:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для начала рассмотрим версию задачи для многочленов над полем. Если НОД двух многочленов не равен 1, то у них есть общий корень в некотором расширении поля. Пусть это a. Ясно, что a не равен нулю. Тогда (1+1/a)^m=1, (1+1/a)^n=1, откуда 1+1/a=1 ввиду взаимной простоты m и n. Противоречие.

Теперь рассмотрим исходную версию для натуральных чисел. Предположим, что числа из условия задачи не взаимно просты. Тогда они имеют общий простой делитель p. При этом в поле Z_p выполнены равенства (a+1)^m=a^m, (a+1)^n=a^n. Здесь через a для простоты обозначен класс вычетов числа a в данном поле.

Понятно, что a не равен нулю в поле, и далее всё то же самое, что в первом абзаце.

ссылка

отвечен 21 Фев 22:37

изменен 21 Фев 23:05

1

@falcao: Не понимаю, ведь если НОД многочленов f(x) и g(x) равен 1, то тем не менее целые числа f(a) и g(a) могут иметь общий простой делитель.

(21 Фев 22:54) Igore

@Igore: я решил другую задачу -- про многочлены от переменной a! Она в принципе тоже имеет смысл, хотя Ваш вопрос совсем о другом.

Если решу задачу в поставленной версии, то допишу ответ.

(21 Фев 23:00) falcao

@falcao: спасибо

(21 Фев 23:02) Igore
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×227
×202
×60

задан
21 Фев 22:22

показан
48 раз

обновлен
21 Фев 23:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru