|
Изоморфны ли факторкольца Z2[x]/<x^2+x> и Z2[x]/<х^2>. Оба этих многочленая приводимы, и все это будет изоморфно прямой сумме QxQ? И правильно ли я понимаю, что в Z2[x] у многочлена х+1 будет корень 1, а не -1? задан 22 Фев 11:57 
Kirill_Karko...
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Факторкольца изоморфны не будут, поскольку в кольце $%\mathbb{Z}_2[x]/(x^2+x)$% всего один обратимый элемент (единица), а для остальных элементов $%x(x+1)=0,x^2=x,(x+1)^2=x+1$%. Тогда как в кольце $%\mathbb{Z}_2[x]/(x^2)$% помимо единицы еще обратим элемент $%x+1:(x+1)^2=1$%. отвечен 22 Фев 12:25 
haosfortum @Kirill_Karko..., отвечу на оба вопроса Как получается, что х^2=х, как это следует из х(х+1)=0. Когда мы рассматриваем факторкольцо по главному идеалу (x^2+x), речь идет о кольце классов вычетов по модулю многочлена x^2+x. В факторкольце этот многочлен равен нулю, поскольку при делении самого на себя в остатке будет 0. Поделим x^2 с остатком на x^2+x. Получим x^2 = 1*(x^2+x) - x, где x - остаток. То есть $%x^2\equiv x(\text{mod}\ x^2+x)$%. Собственно, поэтому в факторкольце $%\mathbb{Z}_2[x]/(x^2+x)$% x^2=x.
(22 Фев 15:11)
haosfortum
(продолжение) почему (х+1)^2 != х^2+1, на самом деле они равны. Вспомним, что речь идет о факторкольце $%\mathbb{Z}_2[x]/(x^2)$%. Поделим x^2+1 с остатком на x^2. Получим x^2+1 = 1*(x^2) - 1. То есть x^2+1 = 1 в факторкольце. Вот и получается (x+1)^2=1.
(22 Фев 15:11)
haosfortum
@haosfortum: то, что x^2=x(mod x^2+x), быстрее всего следует из того, что 1=-1.
(22 Фев 17:51)
falcao
@falcao, да, но тогда пришлось бы дополнительно объяснять, что формально значит "эквивалентность по модулю". Я там Вам вопрос задал в комментариях к вопросу. Надеюсь, взглянете.
(22 Фев 19:02)
haosfortum
@haosfortum: а зачем? Вы же используете обозначение mod x^2+x, то есть оно считается известным.
(22 Фев 19:55)
falcao
@falcao, ну, просто неопытные изучатели этой темы могут понимать фразу "элемент а при делении на b дает остаток r", но не осознавать при этом, что это эквивалентно тому, что "a-r делится на b".
(22 Фев 21:06)
haosfortum
@haosfortum: такое я допускаю, но тогда надо иметь в виду, что возможна симметричная ситуация :) То есть можно знать определение делимости, и не знать (или знать неточно) определение остатка :)
(22 Фев 21:41)
falcao
показано 5 из 8
показать еще 3
|
Только теперь не могу понять, а как тогда этот изоморфизм будет выглядеть
Откуда взялось QxQ?
В Z2 1 = -1.
@Kirill_Karko...: в первом случае получится не QxQ, а Z2xZ2, так как исходные многочлены над Z2. В этом кольце нет (ненулевых) нильпотентных элементов. Во втором кольце они есть: это образ элемента x.
@falcao, кстати, мне стало любопытно. Во втором случае элементы x и x+1 ведут себя как 0 и 1 соответственно. То есть это кольцо состоит из двух изоморфных копий кольца Z2 (я сейчас выражаюсь не формальным языком, а скорее, просто доношу мысли). То есть можно определить эпиморфизм из $%\mathbb{Z}_2[x]/(x^2)$% в $%\mathbb{Z}_2$%, переводящий $%x$% в $%0$%. Чем тогда по существу эти кольца будут отличаться друг от друга? Понятно, что в одном 4 элемента, а в другом 2, но ведь элемент x ведет себя точно также как и 0. Есть ли какой-то реальный пример, демонстрирующий разницу между этими кольцами?
@haosfortum: кольцо состоит из двух изоморфных копий кольца Z2 -- тут можно выразиться совсем точно: это декартово произведение двух таких копий.
По поводу последнего вопроса, проще всего явно описать кольцо Z2[x]/(x^2). Оно как абелева группа также есть Z2+Z2, то есть состоит из пар (0,0), (1,0), (0,1), (1,1), которые складываются по модулю 2 покоординатно. Но в первом случае умножение тоже покоординатное, а во втором пары (1,0) и (0,1) неравноправны, и (0,1)^2 есть нулевая пара.
Проще всего это кольцо представлять себе как кольцо линейных форм a+bx, где x^2=0.
@falcao, тут можно выразиться совсем точно: это декартово произведение двух таких копий, речь идет о кольце $%\mathbb{Z}_2[x]/(x^2)$% в обоих вопросах, а декартово произведение - это первый случай.
Проще всего это кольцо представлять себе как кольцо линейных форм a+bx, где x^2=0, да, я так и привык это делать. Наверное, я в принципе понял принципиальное различие между этими кольцами, хотя все равно структура любопытная получилась в том смысле, что умножение любого ненулевого элемента на x дает x, что делает x похожим на ноль.
@haosfortum: тогда я неправильно понял Ваш вопрос. Он был о том, чем отличаются кольца, и я подумал на различие первого и второго. А Вы оба раза имели в виду второе. Тогда мы имеем два описания одного и того же -- там естественнее было бы говорить о сходстве, а не о различии.
Так или иначе, там структура яснее ясного, а что касается свойств нуля или единицы, то это типично для полугрупп. Там может быть полугруппа с нулём (допустим, это был x), и тогда его можно "перебить", добавляя элемент 0 -- уже как бы "настоящий".