Натуральное число-палиндром (в десятичной записи) назовём кайнозойским, если оно даёт остаток, равный $%-1$%, при делении на каждое из натуральных чисел от 2 до 7. а) Найдите наименьший кайнозойский палиндром. б) Докажите, что кайнозойских палиндромов бесконечно много. задан 22 Фев 13:39 Казвертеночка
показано 5 из 6
показать еще 1
|
а) Если к числу прибавить 1, то сумма должна делиться на 420. В частности, оно оканчивается нулем, то есть до сложения оканчивалось на 9. Значит, палиндром имеет вид 9...9. Сумма цифр на месте многоточия даёт остаток 2 от деления на 3. После прибавления единицы на должна иметь место делимость на 4, а это значит, что перед последней цифрой 9 идёт нечётная цифра. Пусть это a. Легко понять, что вариант 9a9 отпадает. В самом деле, a не равно 1, и тогда a+1 есть цифра, для которой двузначное число 9(a+1) кратно 7. Это даёт a=0 или a=7, что не годится из соображений будущей делимости на 3. Итак, у нас возникает вариант 9a...a9. Допустим, что число 4-значно. Тогда 2a+1 кратно 3, то есть a=1,4,7. Только для второго варианта получается делимость на 7 у числа 9450, но такое число не кратно 4. Итого наше число как минимум пятизначно. Найдём наименьшее 5-значное. Пусть это 9aba9. Цифра a нечётна, 2a+b+1 кратно 3, и число с цифрами 9ab(a+1) делится на 7. Для a=1 должно быть b=0,3,6, но делимости на 7 при этом не возникает. Полагаем a=3, и тогда наименьшее из значений b, подходящее в плане делимости на 3, даёт 93239. б) Рассмотрим числа вида 93w2w'39, где w' есть w, прочитанное в обратную сторону. После прибавления единицы будет иметь место делимость на 4 и на 5, и достаточно позаботиться о делимости на 3 и на 7. Первое означает, что w делится на 3 (сумма цифр у w' такая же). Для второго свойства достаточно, чтобы число разрядов w было кратно 6 за счёт того, что 10^6 сравнимо с 1 по модулю 7. То есть достаточно брать w и w' из нулей в кратном шести количестве. Конечно, есть уйма и других вариантов. отвечен 22 Фев 17:48 falcao @falcao, большое спасибо!
(22 Фев 22:14)
Казвертеночка
|
@Казвертеночка: остаток от деления, по чисто формальным причинам, не может быть равен -1. Это тот случай, когда сама мысль предельно понятна, и кратко лучше всего выражается именно в этой форме, но с "формально-юридической" точки зрения оказывается неверно выраженной.
@falcao, ладно, пусть будет $%n-1$% при делении на каждое целое $%n$%, большее 1 и меньшее 8.
@Казвертеночка: там, кстати, при делении на 9 и 10 тот же эффект получается.
@falcao, жаль, что не на 8, было бы красиво...
@Казвертеночка: так и на 8 оно делится -- я просто забыл упомянуть.
@falcao, точно! 240 же в конце. Тогда надо условие задачи менять, чтобы вместо 7 было 10.