остатки - Кайнозойский палиндром

а) Если к числу прибавить 1, то сумма должна делиться на 420. В частности, оно оканчивается нулем, то есть до сложения оканчивалось на 9. Значит, палиндром имеет вид 9...9. Сумма цифр на месте многоточия даёт остаток 2 от деления на 3. После прибавления единицы на должна иметь место делимость на 4, а это значит, что перед последней цифрой 9 идёт нечётная цифра. Пусть это a.

Легко понять, что вариант 9a9 отпадает. В самом деле, a не равно 1, и тогда a+1 есть цифра, для которой двузначное число 9(a+1) кратно 7. Это даёт a=0 или a=7, что не годится из соображений будущей делимости на 3.

Итак, у нас возникает вариант 9a...a9. Допустим, что число 4-значно. Тогда 2a+1 кратно 3, то есть a=1,4,7. Только для второго варианта получается делимость на 7 у числа 9450, но такое число не кратно 4.

Итого наше число как минимум пятизначно. Найдём наименьшее 5-значное. Пусть это 9aba9. Цифра a нечётна, 2a+b+1 кратно 3, и число с цифрами 9ab(a+1) делится на 7. Для a=1 должно быть b=0,3,6, но делимости на 7 при этом не возникает. Полагаем a=3, и тогда наименьшее из значений b, подходящее в плане делимости на 3, даёт 93239.

б) Рассмотрим числа вида 93w2w'39, где w' есть w, прочитанное в обратную сторону. После прибавления единицы будет иметь место делимость на 4 и на 5, и достаточно позаботиться о делимости на 3 и на 7. Первое означает, что w делится на 3 (сумма цифр у w' такая же). Для второго свойства достаточно, чтобы число разрядов w было кратно 6 за счёт того, что 10^6 сравнимо с 1 по модулю 7. То есть достаточно брать w и w' из нулей в кратном шести количестве. Конечно, есть уйма и других вариантов.