1
1

Натуральное число-палиндром (в десятичной записи) назовём кайнозойским, если оно даёт остаток, равный $%-1$%, при делении на каждое из натуральных чисел от 2 до 7.

а) Найдите наименьший кайнозойский палиндром.

б) Докажите, что кайнозойских палиндромов бесконечно много.

задан 22 Фев 13:39

1

@Казвертеночка: остаток от деления, по чисто формальным причинам, не может быть равен -1. Это тот случай, когда сама мысль предельно понятна, и кратко лучше всего выражается именно в этой форме, но с "формально-юридической" точки зрения оказывается неверно выраженной.

(22 Фев 17:21) falcao

@falcao, ладно, пусть будет $%n-1$% при делении на каждое целое $%n$%, большее 1 и меньшее 8.

(22 Фев 22:12) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: там, кстати, при делении на 9 и 10 тот же эффект получается.

(22 Фев 22:44) falcao

@falcao, жаль, что не на 8, было бы красиво...

(23 Фев 1:07) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: так и на 8 оно делится -- я просто забыл упомянуть.

(23 Фев 1:55) falcao

@falcao, точно! 240 же в конце. Тогда надо условие задачи менять, чтобы вместо 7 было 10.

(23 Фев 1:57) Казвертеночка
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Если к числу прибавить 1, то сумма должна делиться на 420. В частности, оно оканчивается нулем, то есть до сложения оканчивалось на 9. Значит, палиндром имеет вид 9...9. Сумма цифр на месте многоточия даёт остаток 2 от деления на 3. После прибавления единицы на должна иметь место делимость на 4, а это значит, что перед последней цифрой 9 идёт нечётная цифра. Пусть это a.

Легко понять, что вариант 9a9 отпадает. В самом деле, a не равно 1, и тогда a+1 есть цифра, для которой двузначное число 9(a+1) кратно 7. Это даёт a=0 или a=7, что не годится из соображений будущей делимости на 3.

Итак, у нас возникает вариант 9a...a9. Допустим, что число 4-значно. Тогда 2a+1 кратно 3, то есть a=1,4,7. Только для второго варианта получается делимость на 7 у числа 9450, но такое число не кратно 4.

Итого наше число как минимум пятизначно. Найдём наименьшее 5-значное. Пусть это 9aba9. Цифра a нечётна, 2a+b+1 кратно 3, и число с цифрами 9ab(a+1) делится на 7. Для a=1 должно быть b=0,3,6, но делимости на 7 при этом не возникает. Полагаем a=3, и тогда наименьшее из значений b, подходящее в плане делимости на 3, даёт 93239.

б) Рассмотрим числа вида 93w2w'39, где w' есть w, прочитанное в обратную сторону. После прибавления единицы будет иметь место делимость на 4 и на 5, и достаточно позаботиться о делимости на 3 и на 7. Первое означает, что w делится на 3 (сумма цифр у w' такая же). Для второго свойства достаточно, чтобы число разрядов w было кратно 6 за счёт того, что 10^6 сравнимо с 1 по модулю 7. То есть достаточно брать w и w' из нулей в кратном шести количестве. Конечно, есть уйма и других вариантов.

ссылка

отвечен 22 Фев 17:48

@falcao, большое спасибо!

(22 Фев 22:14) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×46
×23
×7
×2
×1

задан
22 Фев 13:39

показан
65 раз

обновлен
23 Фев 1:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru