|
Рассмотрим такую последовательность натуральных чисел: первое нечетное число(1), следующие два четных числа(2, 4), следующие три нечетных числа(5, 7, 9), следующие четыре четных(10, 12, 14, 16) и т. д... Докажите, что n-ый член последовательности равен $%2n-[\frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}]$% Запись [$%n$%] подразумевает наибольшее целое число, не превосходящее $%n$% задан 24 Фев '12 16:28 
dmg3 |
|
Легко заметить (и доказать), что последний член k-ой группы имеет вид $%k^2$% и номер k(k+1)/2. Рассмотрим k-ую группу. К ней относятся члены с номерами от $%{k(k-1)\over 2}+1$% до $%{k(k+1)\over 2}=m$%. Член с номером n = m - i, i=0,1, ...(k-1) равен $%a_m-2i = k^2-2(m-n) = 2n-k$%. Дальше надо сделать оценки. чтобы показать, что k и есть целая часть, указанная в задании. Можно рассуждать и так. Данная последовательность получается из 2, 4, 6, 8, 10, ... таким способом: группы из 1, 2, 3, 4, ... членов сдвигаются к началу на 1,2, ... единиц. Таким образом, в k-ой группе числа меньше исходных на k. Номера членов k-ой группы $%{k(k-1)\over 2}+ 1\leq n \leq {k(k+1)\over 2}$%. Но тогда выражение в квадратных скобках лежит в пределах [k; k+1), т.е. его целая часть и равна k. отвечен 24 Фев '12 18:07 
DocentI |
|
Доказать формулу невозможно по весьма банальной причине: при отвечен 24 Фев '12 17:32 
Dim_K |