теория-вероятностей - Вероятность суммы очков на верхних гранях игральных костей

Один из способов состоит в том, что можно перебрать все варианты. Их сравнительно немного, и для каждого случая легко найти вероятность. При этом надо учитывать, что один и тот же набор слагаемых может появляться с перестановками.

Но тут есть более простой способ, использующий симметрию и позволяющий сократить перебор. Каждому значению от 1 до 6 поставим в соответствие симметричное, где 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 соответствуют друг другу. Легко заметить, что два симметричных значения в сумме дают 7. Вероятность выпадения каждого значения равна вероятности выпадения симметричного значения. Отсюда следует, что вероятность выпадения суммы $%x+y+z=s$% равна вероятности выпадения суммы симметричных слагаемых, то есть $%(7-x)+(7-y)+(7-z)=21-s$%. В частности, сумма $%15$% выпадает столь же часто, как и сумма $%21-15=6$%.

Сумма очков принимает значения от 3 до 18 включительно. Эти значения можно разбить на две части: от 3 до 10, и от 11 до 18. Вторые значения симметричны первым, и отсюда ясно, что вероятность получить значение от 3 до 10 равна 1/2. Поэтому достаточно найти вероятность того, что сумма очков будет принимать значения от 3 до 6 включительно, и вычесть это значение из 1/2.

Случаев здесь совсем немного:

111 112 113 114 122 123 222

Если учесть все перестановки (например, для случая 112 их три), то их количество надо поделить на $%6^3$%. Останется из 1/2 вычесть результат, и это будет ответ.