алгебра - Теория групп

a) Всякое целое число $%k$% можно представить в виде $%k=3q+r$%, где $%q$% -- (неполное) частное, $%r$% -- остаток от деления на $%3$%. Поскольку $%a^3\sim1$% в группе $%G$%, заданной образующими и определяющими соотношениями, отсюда следует, что $%a^{3q}\sim1$%, а потому $%a^k\sim a^r$%, где $%r=0,1,2$%. Аналогично, любая степень элемента $%b$% будет эквивалентна $%1=b^0$% или $%b=b^1$% за счёт того, что $%b^2\sim1$%.

Ввиду того, что всякое слово $%W$% в рассматриваемых образующих равно произведению степеней $%a$% и $%b$% с целочисленными показателями, оно будет эквивалентно слову, в котором показатели степеней при $%a$% принимают значения $%0,1,2$%, а показатели степеней при $%b$% принимают значения $%0,1$%. Можно также не учитывать нулевые степени, поскольку это пустые слова, и тогда $%b$% будет встречаться только в первой степени, то есть $%W$% эквивалентно слову такого вида: $$a^{k_0}ba^{k_1}ba^{k_2}\cdots a^{k_{m-1}}ba^{k_m}$$ для некоторого $%m\ge1$%, где числа $%k_1,k_2,\ldots,k_{m-1}$% равны $%1$% или $%2$%, а числа $%k_0,k_m$% кроме этих значений могут быть ещё и равны нулю.

Покажем, как можно преобразовать полученное слово, заменяя его на эквивалентное, если $%b$% встречается как минимум дважды. Прежде всего, $%ab\sim ba^2$% из вида определяющих соотношений; это значит, что $%b^{-1}ab\sim a^2$%. Если слова эквивалентны, то это же верно для произвольных их степеней: $%(b^{-1}ab)^d\sim a^{2d}$%, где $%d\in{\mathbb Z}$%. Из элементарных свойств можно заключить, что $%(b^{-1}ab)^d\sim b^{-1}a^db$%. Наконец, из $%b^2\sim1$% вытекает, что $%b^{-1}\sim b$%, что приводит к выводу $%ba^db\sim a^{2d}$%. Таким образом, если буква $%b$% встречается более одного раза, то к слову из выделенной формулы можно применить указанное преобразование, уменьшающее число букв $%b$% в слове. Это значит, что за несколько таких операций мы придём или к степени слова $%a$%, эквивалентной одному из слов $%1,a,a^2$%, либо к слову вида $%a^{k_0}ba^{k_1}$%, в котором буква $%b$% ровно одна. При $%k_0\ne0$% можно воспользоваться установленной выше эквивалентностью $%a^db\sim ba^{2d}$% для $%d=k_0$%. В результате этого мы придём к одному из слов списка $%b,ba,ba^2$%.

Мы доказали, что всякое слово $%W$% эквивалентно одному из шести слов: $%1,a,a^2,b,ba,ba^2$%. Отсюда можно сделать вывод, что исследуемая нами группа состоит не более чем из шести элементов. Мы также знаем, что группа подстановок $%\Sigma_3$% состоит из шести элементов. Для установления того, что обе группы изоморфны, можно использовать следующее соображение. Сопоставим образующим $%a$% и $%b$% элементы группы $%\Sigma_3$% по следующему правилу: $%a\mapsto(x,y,z)$% (тройной цикл), $%b\mapsto(x,y)$% (транспозиция). Это отображение продолжается до гомоморфизма свободной группы с образующими $%a,b$% в группу $%\Sigma_3$%. Перемножая подстановки, мы видим, что $%a^2$% переходит в $%(x,y,z)^2=(x,z,y)$%, $%ba$% переходит в $%(x,y)(x,y,z)=(x,z)$%, и $%ba^2$% переходит в $%(x,y)(x,z,y)=(y,z)$%. Таким образом, образ гомоморфизма содержит все $%6$% элементов группы $%\Sigma_3$%. Это значит, что гомоморфизм сюръективен. Наконец, легко проверить, что каждое из определяющих соотношений $%a^3$%, $%b^2$% переходит в единичный элемент при этом гомоморфизме, а также что образы элементов $%ab$% и $%ba^2$% одинаковы. Отсюда следует, что у эквивалентных слов образы также будут одинаковы. Это позволяет задать гомоморфизм из группы $%G$% в группу $%\Sigma_3$%, сопоставляя классу эквивалентности $%[W]$% слова $%W$% то, что раньше мы сопоставляли слову $%W$%. В итоге получится гомоморфизм группы $%G$% на группу $%S_3$%. Теперь вспомним, что классов эквивалентности у нас было не более шести. Их не может быть меньше, так как группа $%G$% имеет своим гомоморфным образом группу из шести элементов. А из этого вытекает, что рассматриваемый гомоморфизм взаимно однозначен, то есть является изоморфизмом групп $%G$% и $%\Sigma_3$%. Это и означает, что $%\Sigma_3$% задаётся представлением из условия.

б) Этот пункт решается аналогично. Прежде всего, здесь $%a^{-1}\sim a$% и $%b^{-1}\sim b$%. За счёт этого всякое слово $%W$% будет эквивалентно произведению чередующихся букв $%a$% и $%b$%. Заметим, что $%(ab)^3=ababab\sim1$%, откуда $%bab\sim(aba)^{-1}=a^{-1}b^{-1}a^{-1}\sim aba$%. Это значит, что если в преобразуемом слове имеются две буквы $%b$%, то подслово $%bab$% мы можем заменить на эквивалентное, уменьшая число вхождений буквы $%b$%. Таким способом мы приходим к одному из слов списка $%1,a,b,ab,ba,aba$%. Классов эквивалентности здесь, как и в предыдущем пункте, не более шести.

Далее строим гомоморфизм, полагая $%a\mapsto(x,y)$%, $%b\mapsto(x,z)$%. Ясно, что каждое из определяющих соотношений отобразится в единицу группы $%\Sigma_3$%. Образами шести элементов списка будут все элементы группы подстановок. Из этого, аналогично предыдущему пункту, устанавливаем изоморфизм групп.