алгебра - Сколько решений имеет уравнение

Решений уравнение не имеет: левая часть всегда больше правой. Докажем это.

Высказанное утверждение равносильно тому, что $%2(2^x+2^{-x})+(x+2)^2 > 5$%. Из неравенства о среднем очевидно, что $%2^x+2^{-x}\ge2$%, поэтому доказываемое неравенство справедливо при $%|x+2| > 1$%. Рассмотрим оставшийся промежуток $%x\in[-3,-1]$%. Для него имеем $%y\in[2,8]$%, где $%y=2^{-x}$%. При этом $%2^x+2^{-x}=y+y^{-1}$%, а такая функция от $%y$% возрастает при $%y > 1$%. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце, то есть при $%y=2$%, что означает $%x=-1$%. Получается $%2(2^x+2^{-x})\ge2\cdot\frac52=5$%, а также $%(x+2)^2\ge0$%, причём в сумме неравенство строгое, так как первое слагаемое равно $%5$% только при $%x=-1$%, а второе равно нулю только при $%x=-2$%.