Вовочка написал на доске равенство 101=11011. Учитель информатики сказал, что это равенство будет верным, если понимать его как запись одного и того же числа, но в разных системах счисления. Найдите основания этих систем

задан 11 Мар 22:38

1

$$x^2+1=y^4+y^3+y+1,(2x)^2=4(y^4+y^3+y),$$ $$(2y^2+y-1)^2<4(y^4+y^3+y)<(2y^2+y+1)^2⇒4(y^4+y^3+y)=(2y^2+y)^2,...$$

(11 Мар 22:58) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть в первом случае основание системы счисления равно a, во втором b. Тогда a^2+1=b^4+b^3+b+1. Нужно решить это уравнение в натуральных числах a,b>=2.

Запишем a^2=b(b^3+b^2+1), где сомножители в правой части взаимно простые. Их произведение есть точный квадрат. Значит, они сами -- квадраты: b=c^2, c^6+c^4+1=d^2.

Квадрат нечётного числа при делении на 4 даёт в остатке 1. Тогда, если c нечётно, то d тоже нечётно, и остатки слева и справа не совпадают. Таким образом, с чётно, и d нечётно.

Если c=2, то d=9, и получается решение b=4, a^2=4*9^2, то есть a=18. В этом случае речь идёт о числе 325 в десятичной записи. Проверим, что других решений нет. Если c > 2, то (c^3+c/2)^2=c^6+c^4+c^2/4 > c^6+c^4+1, однако (c^3+c/2-1)^2=c^6+c^4-2c^3+c^2/4-c+1 < c^6+c^4+1, что легко проверяется.

ссылка

отвечен 11 Мар 23:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×956
×53

задан
11 Мар 22:38

показан
117 раз

обновлен
11 Мар 23:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru