геометрия - Как построить треугольник векторами

Здесь надо иметь в виду, что длины сторон задают треугольник однозначно, но его расположение на координатной плоскости они не определяют, так как треугольник можно двигать. Поэтому имеется некоторый произвол в выборе. Первую вершину $%A$% можно поместить в начало координат. Вторую вершину $%B$% поместим в точку $%(c,0)$%, где $%c$% -- длина стороны $%AB$%. Третья точка $%C$% при этом может оказаться в двух положениях; для однозначности будем считать, что она находится в верхней полуплоскости. Её координаты мы не знаем, поэтому обозначим их черз $%x$% и $%y$%, то есть $%C(x,y)$%, причём $%y=0$%.

Нам известно два условия: $%AC=b$% и $%BC=a$%. Выразим эти условия в виде формул, беря квадраты расстояний. Для точек $%A(0,0)$% и $%C(x,y)$% квадрат расстояния $%AC$% равен $%(x-0)^2+(y-0)^2=x^2+y^2$%, и он же равен $%b^2$%. Это даёт первое уравнение $%x^2+y^2=b^2$%.

Теперь рассмотрим точки $%B(c,0)$% и $%C(x,y)$%. Квадрат расстояния $%BC$% равен $%(x-c)^2+(y-0)^2=(x-c)^2+y^2$%, и он же равен $%a^2$%. Это даёт второе уравнение: $%(x-c)^2+y^2=a^2$%.

Решим полученную систему. Из первого уравнения, $%y^2=b^2-x^2$%; подстановка во второе уравнение даёт $%(x-c)^2+b^2-x^2=a^2$%. После упрощений получается $%-2cx=a^2-b^2-c^2$%, то есть $%x=(b^2+c^2-a^2)/(2c)$% мы нашли. Зная $%x$%, находим $%y$% по формуле $%y=\sqrt{b^2-x^2}$% (с учётом положительности $%y$%).