|
На ребрах А1В1 и СС1 правильной призмы АВСА1В1С1, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания, взяты соответственно точки Д1 и С2 - середины ребер. Считая АВ=а, найти наименьшую площадь, которую может иметь треугольник АВР, вершина которого лежит на 1) отрезке СС1 2) На прямой А2С2, точка А2 которой лежит на ребре АА1 причет АА2:АА1=3:4 задан 27 Сен '13 12:27 
Amalia |
|
Первый пункт совсем простой: есть плоская фигура, и её площадь равна площади проекции, делённой на косинус угла между плоскостями. Чтобы площадь была наименьшей, надо максимизировать косинус, то есть положить его равным единице. Это значит, что $%P=C$%. Во втором пункте возьмём проекцию точки $%P$% на плоскость основания. Это какая-то точка $%X$% на прямой $%AC$%. Рассмотрим случай, когда $%X$% лежит на отрезке $%AC$%. Пусть при этом $%x=AX:AC$%. Обозначим через $%Y$% проекцию точки $%X$% на отрезок $%AB$%. Легко видеть, что $%PY$% перпендикулярна $%AB$%, то есть это высота треугольника $%ABP$%. Чтобы минимизировать площадь, надо минимизировать высоту, так как основание $%AB$% не меняется. По теореме Пифагора, $%PY^2=PX^2+XY^2$%. Оба расстояния $%XY$% и $%PX$% легко найти. Первое из них относится как $%x:1$% к высоте правильного треугольника $%ABC$% со стороной $%a$%. Второе расстояние находится из прямоугольной трапеции $%ACC_2A_2$%. В ней надо нарисовать отрезок $%PX$%, после чего нахождение его длины становится несложным. В итоге минимизируемая величина $%PY^2$% становится квадратным трёхчленом от $%x$%. Если проделать вычисления, то становится ясно, что наименьшее значение достигается в точке $%x=3/4$%. Из этих соображений становится понятно, что точку $%P$% достаточно брать в пределах отрезка $%A_2C_2$%. Далее находим $%PY$% и площадь треугольника $%ABP$%. отвечен 27 Сен '13 19:21 
falcao Во втором пункте, где именно должна находится точка Р? Как нам найти РХ?
(28 Сен '13 12:40)
Amalia
@Amalia: а как у Вас получилось $%a^2$%? Это было бы в случае, когда высота равна $%2a$%, но она принимает другое значение: это гипотенуза треугольника с катетами $%a$% и $%a\sqrt{3}/2$% (последнее -- высота правильного треугольника). Теперь по поводу $%PX$%: если сделать отдельный рисунок трапеции (прямоугольной), то получится простая геометрическая задача. Её можно решить, например, с использованием подобия треугольников.
(28 Сен '13 14:40)
falcao
Точка $%P$% находится на отрезке $%A_2C_2$%, как было сказано в условии. Мы про эту точку знаем то, что её проекция на сторону $%AC$% -- это точка $%X$%, для которой отношение $%AX:AC$% равно $%x$%. Соответственно, $%A_2P:A_2C_2$% тоже равно $%x$%. Это однозначно определяется точку. В первом пункте ответ пока что неверный, так как надо брать половину произведения основания (равного $%a$%) на высоту треугольника $%ABP$%. Это расстояние от точки $%P$% до середины $%Q$% стороны $%AB$%. При этом $%PQ$% есть гипотенуза в $%PCQ$%; катеты нам известны.
(28 Сен '13 15:39)
falcao
В первом пункте вы сказали что С2=Р, ответ: $$\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$$
(28 Сен '13 15:53)
Amalia
Во втором пункте $$PY=\frac{\sqrt{23}}{4}$$ ? А значит площадь $$\frac{\sqrt{23}}{8}$$?
(28 Сен '13 16:25)
Amalia
показано 5 из 7
показать еще 2
|
Для чего бралась точка Д1?
там до этого еще одно задание было, я уже решила его. можете помочь с решением этих?
В первом пункте ошибка там на отрезке С1С2
В этом случае задача всё равно решается просто: если точка $%P$% расположена на прямой, перпендикулярной плоскости основания, то её надо выбирать на наименьшем расстоянии от основания -- чтобы минимизировать высоту. В данном случае это будет $%C_2$%.