Вот есть задача: За круглый стол рассаживаются в случайном порядке $%2n$% гостей. Какова вероятность того, что гостей можно разбить на $%n$% непересекающихся пар так, чтобы каждая пара состояла из сидящих рядом мужчины и женщины? Объясните, пожалуйста, почему число всевозможных вариантов разбиения на $%n$% пар равно $%C_{2n}^n$%. То есть $%C_{2n}^n$% означает же число способов выбрать $%n$% элементов из $%2n$%. Но тут же в задаче говорится немного про другое, про количество способов разбиения на $%n$% пар. Как это понимать?

задан 20 Мар 3:39

Здесь условие воспроизведено неточно. Должно быть оговорено, что среди 2n человек имеется поровну мужчин и женщин. Они рассаживаются случайно, и спрашивается, какова вероятность, что они будут чередоваться. Тогда одно из решений таково: мужчины сидят на n местах из 2n, и все такие рассадки равновероятны. Выбрать n мест для мужчин можно C_{2n}^n способами. Успешными являются 2 способа из этого количества -- когда все они сидят на чётных местах, или на нечётных. Можно решать и по-другому; см. здесь.

(20 Мар 14:10) falcao

@тотещефрукт: до меня не сразу дошёл смысл условия. Чередование здесь вовсе не обязательно. Например, при n=2 возможен случай ММЖЖ, где чередования нет, но разбиение на пары возможно. Тогда рассуждаем так: делаем "нарезку" на пары соседних мест двумя способами. На каждую пару таких мест садим 2 способами М и Ж. Получается 2^{n+1}, и нужно вычесть 2, так как чередующиеся рассадки при таком способе подсчёта учитываются дважды.

(21 Мар 14:58) falcao

@falcao вот я попробовал проделать все руками для n = 3, но почему-то ответ не сходится. Вот как я делал: пусть всего - 6 гостей, то есть n = 3. 3 из них - мужчины, 3 - женщины. Количество способов разбить всех 6-ых человек на 3 пары - 531, то есть 15 способов. Я специально руками выписал все возможные способы, и посмотрел какие из них подходят по описанию, то есть, чтобы каждая пара состояла из мужчины и женщины. Их оказалось - 6. В итоге - 6/15, хотя должно быть - 14/20. В чем ошибка?

(21 Мар 21:56) тотещефрукт

@тотещефрукт: возможные разбиения на пары совсем не учитывают того, что и с кем оказывается рассажен, и в каком порядке. Ответ 6/15 получается для такой задачи: 6 человек случайно разбиваем на пары, и спрашиваем, с какой вероятностью в каждой из пар будет МЖ. Но это совсем другой вопрос.

(21 Мар 23:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,065
×3,414
×1,484
×1,037
×181

задан
20 Мар 3:39

показан
168 раз

обновлен
21 Мар 23:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru