Докажите, что

$$\frac{{{\pi ^2}}}{6} = 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{{\frac{1}{3} + \frac{1}{{\frac{1}{3} + ...}}}}}}}}}}}} = \left[ {1;1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{5}...} \right].$$

задан 22 Мар 1:49

изменен 22 Мар 2:31

10|600 символов нужно символов осталось
3

$$\gamma_{2n+1}=\left [0,1,1,\dfrac {1}{2},\dfrac {1}{2}, \ . . . \ ,\dfrac{1}{n},\dfrac {1}{n},\dfrac {1}{n+1}\right]=\dfrac {P_{2n+1}}{Q_{2n+1}}$$

$$\gamma_{2n+2}=\left [0,1,1,\dfrac {1}{2},\dfrac {1}{2}, \ . . . \ ,\dfrac{1}{n},\dfrac {1}{n},\dfrac {1}{n+1},\dfrac {1}{n+1}\right]=\dfrac {P_{2n+2}}{Q_{2n+2}}$$

$$(P_1=Q_1=1)\ \ \ \ \ \ (P_2=1\ , \ Q_2=2)$$ $$$$ Для цепных дробей выполняются соотношения: $$\gamma_m-\gamma_{m-1}=\dfrac{(-1)^{m+1}}{Q_mQ_{m-1}} $$

$$ P_{2n+1}=\dfrac {1}{n+1}P_{2n}+P_{2n-1}\ , \ \ \ Q_{2n+1}=\dfrac {1}{n+1}Q_ {2n}+Q_{2n-1}$$

$$ P_{2n+2}=\dfrac {1}{n+1}P_ {2n+1}+P_{2n}\ , \ \ \ Q_{2n+2}=\dfrac {1}{n+1}Q_ {2n+1}+Q_{2n}\ $$

$$$$

$$(Q_1=1,\ Q_2=2), \ \ (Q_3=2,\ Q_4=3)\ \ . . .\ \ (Q_{2n-1}=n ,\ Q_{2n}=n+1)\Rightarrow $$ $$(Q_{2n+1}=n+1,\ Q_{2n+2}=n+2)$$ Получили:

$$\gamma_{2n+1}-\gamma_{2n}=\dfrac {1}{(n+1)^2} \ , \ \ \ \gamma_{2n}-\gamma_{2n-1}=-\dfrac {1}{n (n+1)}$$

$$\gamma_{2n+1}=\dfrac {1}{2^2}+\dfrac {1}{3^2}+\ ...\ +\dfrac {1}{(n+1)^2}+\dfrac {1}{n+1}$$

$$\gamma_{2n}=\dfrac {1}{2^2}+\dfrac {1}{3^2}+\ ...\ +\dfrac {1}{n^2}+\dfrac {1}{n+1}$$

$$1+\gamma_{m}\rightarrow \dfrac {1}{1^2}+\dfrac {1}{2^2}+ \ ... \ =\dfrac {\pi^2}{6}$$

ссылка

отвечен 23 Мар 3:29

изменен 23 Мар 3:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×11

задан
22 Мар 1:49

показан
159 раз

обновлен
23 Мар 3:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru