|
Дано $%100$% чисел ,каждое из которых принадлежит отрезку $%[-1,2]$%.Какое наибольшее значение может принимать сумма кубов этих чисел , если сумма чисел равна $%2$% ? задан 23 Мар '21 1:27 
jao |
|
$$x^3 \leq 3x +2 ⇔ (x+1)^2(x-2) \leq 0 $$ $$a_1^3+...+a_{100}^3 \leq 3S + 2\cdot 100=206$$ Пусть $%k $% - число двоек ,тогда $% 2k-(100-k)=2$% , $%k=34$% , значит равенство достигается отвечен 23 Мар '21 17:11 
lawyer Круть!!!!!
(23 Мар '21 17:25)
spades
А если бы значение суммы было таким,что $%k$% - не целое ? Или тогда максимума не было бы?
(24 Мар '21 11:07)
jao
@jao: максимум тут всегда есть на компактном множестве, а если k не целое, то тогда как обычно -- надо брать ближайшие целые и сравнивать, какое лучше.
(24 Мар '21 15:19)
falcao
|
Сомневаюсь ,что 8
34 двойки и 66 минус единиц дают 206.
@spades:А как это доказывается?
@jao, не уверен в полной строгости своего доказательства, но я делал так:
в сумме двух положительных кубов выгодно одно делать большим, насколько возможно. Поэтому одна двойка там точно есть. Соответственно решаем для 99 чисел с нулевой суммой.
Если суммы чисел одного знака равны S и -S соответственно, то выгодно делать S как можно большим. А это, легко видеть - 66.
@spades, Вы дали точный ответ. Строго его можно получить на основе теоремы Каратеодори. Задача становится абсолютно прозрачной, если ее сформулировать в терминах оптимизации распределений с ограничениями на моменты.Учитывая, что ограничения представлены системой функций Чебышева, а оптимизируемый функционал - ее продолжение, то получим, что оптимум достигается на главном верхнем распределении с индексом 2 (Крейн, Нудельман - Проблема моментов Маркова...). При этом $% x_1=-1, x_2=2, px_1+(1-p)x_2=0,02 \to p=0,66$% (повезло, что не потребовалось корректировать с учетом дискр-сти значений $%p$%).