Дано $%100$% чисел ,каждое из которых принадлежит отрезку $%[-1,2]$%.Какое наибольшее значение может принимать сумма кубов этих чисел , если сумма чисел равна $%2$% ?

задан 23 Мар '21 1:27

изменен 23 Мар '21 1:48

Сомневаюсь ,что 8

(23 Мар '21 10:44) jao
2

34 двойки и 66 минус единиц дают 206.

(23 Мар '21 11:21) spades

@spades:А как это доказывается?

(23 Мар '21 12:21) jao
1

@jao, не уверен в полной строгости своего доказательства, но я делал так:
в сумме двух положительных кубов выгодно одно делать большим, насколько возможно. Поэтому одна двойка там точно есть. Соответственно решаем для 99 чисел с нулевой суммой.
Если суммы чисел одного знака равны S и -S соответственно, то выгодно делать S как можно большим. А это, легко видеть - 66.

(23 Мар '21 13:36) spades
1

@spades, Вы дали точный ответ. Строго его можно получить на основе теоремы Каратеодори. Задача становится абсолютно прозрачной, если ее сформулировать в терминах оптимизации распределений с ограничениями на моменты.Учитывая, что ограничения представлены системой функций Чебышева, а оптимизируемый функционал - ее продолжение, то получим, что оптимум достигается на главном верхнем распределении с индексом 2 (Крейн, Нудельман - Проблема моментов Маркова...). При этом $% x_1=-1, x_2=2, px_1+(1-p)x_2=0,02 \to p=0,66$% (повезло, что не потребовалось корректировать с учетом дискр-сти значений $%p$%).

(23 Мар '21 14:34) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
4

$$x^3 \leq 3x +2 ⇔ (x+1)^2(x-2) \leq 0 $$ $$a_1^3+...+a_{100}^3 \leq 3S + 2\cdot 100=206$$ Пусть $%k $% - число двоек ,тогда $% 2k-(100-k)=2$% , $%k=34$% , значит равенство достигается

ссылка

отвечен 23 Мар '21 17:11

Круть!!!!!

(23 Мар '21 17:25) spades

А если бы значение суммы было таким,что $%k$% - не целое ? Или тогда максимума не было бы?

(24 Мар '21 11:07) jao

@jao: максимум тут всегда есть на компактном множестве, а если k не целое, то тогда как обычно -- надо брать ближайшие целые и сравнивать, какое лучше.

(24 Мар '21 15:19) falcao

@falcao: Почему целые?Вы про k или сами числа?

(24 Мар '21 15:30) jao

@jao: я говорил здесь скорее про общий абстрактный принцип. Целочисленность касается количества.

(24 Мар '21 15:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,241
×4,219
×969

задан
23 Мар '21 1:27

показан
371 раз

обновлен
24 Мар '21 15:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru