|
Здравствуйте. Необходимо по критерию Коши доказать, что последовательность элементов $$sint - sin\frac{ t }{ k }$$ не имеет предела на множестве $$С[0,1]$$ задан 29 Сен '13 11:17 
SerGeniuS |
|
Я не нахожу причин в том, что эта последовательность функций $%x_k(t)=sint-sin\frac{t}{k}$% не сходится равномерно к функции $%x(t)=sint,\quad t\in[0;1].$% Критерий Коши:$$\forall t\in[0;1],p\in N,\varepsilon>0:\vert x_{k+p}(t)-x_k(t)\vert=$$$$\vert sin\frac{t}{k}-sin\frac{t}{k+p}\vert=2\vert sin\frac{tp}{2k(k+p)}\cdot cos\frac{(2k+p)t}{2k(k+p)}\vert\le$$ $$\le2\vert sin\frac{1\cdot p}{2k(k+p)}\vert\cdot1\le2\vert \frac{ p}{2k(k+p)}\vert< \frac{ k+p}{k(k+p)}=\frac{1}{k}<\varepsilon\Rightarrow K(\varepsilon)=\Big[\frac{1}{\varepsilon}\Big].$$ отвечен 29 Сен '13 15:05 
Anatoliy А можете написать доказательство по критерию Коши?
(29 Сен '13 15:07)
SerGeniuS
$$...K(\varepsilon)=\left[ \frac{1}{\varepsilon} \right ]+1.$$
(14 Дек '13 14:58)
splen
|
Надо уточнить условие. Что здесь $%t$% и $%k$%?
Есть опредление Говорят, что последовательность элементов xk метрического пространства X сходятся к элементу x если предел p(xk,x) при k->бесконечность = 0.
Т.е. к бесконечности стремится k Но вот тут нужно доказать сходится не к элементу x, а имеется ли предел вообще
Вот скриншоты определений http://s1.ipicture.ru/uploads/20130929/3463E2eb.png http://s1.ipicture.ru/uploads/20130929/Qu4b3KmC.jpg
Вот решение для последовательности t^n.
http://s1.ipicture.ru/uploads/20130929/dIU9h9vx.jpg
Вместо k здесь n. Вот нужно по критерию Коши доказать что для последовательности для C[0,1] не существует предела