$$N = \frac{{\sqrt 2 {\pi ^{\frac{3}{2}}}}}{{4\Gamma {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{{\pi \cdot G}}{2} = \frac{1}{4}{\rm B}\left( {\frac{1}{4},\frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}K\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$$

$%\begin{array}{l} \Gamma {\text{ - гамма - функция;}} \hfill \\ G{\text{ - постоянная Гаусса;}} \hfill \\ {\rm B}{\text{ - бета - функция;}} \hfill \\ K{\text{ - полный нормальный эллиптический}} \hfill \\ {\text{интеграл Лежандра }}1{\text{ - го рода}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}$%

Докажите, что

$$1 + \frac{{1 + \frac{{1 + \frac{{1 + \frac{{1 + ...}}{{2 + 3/7}}}}{{2 + 3/5}}}}{{2 + 3/3}}}}{{2 + 3/1}} = N.$$

$%{a_k} = 2 + \frac{3}{{2k - 1}}.$%

задан 29 Мар 21:59

изменен 8 Авг 16:16

Господи 0_0

(7 Авг 22:57) Rene

$${N_2} = 1 + \frac{{1 + \frac{{1 + \frac{{1 + \frac{{...}}{{2 + 1/7}}}}{{2 + 1/5}}}}{{2 + 1/3}}}}{{2 + 1/1}}.$$

$%{\text{Докажите}}{\text{, что }}{N_2} = \frac{1}{{2G}} + 1,{\text{ где }}G{\text{ - постоянная Гаусса}}{\text{.}}$%

(8 Авг 0:32) Igore

Число N называют лемнискатической константой, т.к. длина лемнискаты $%r = \sqrt {\cos 2\varphi }$% равна 4*N.

oeis

alt text

(8 Авг 16:09) Igore
(12 Авг 20:25) Igore
10|600 символов нужно символов осталось
2

1. $$N = 1+\dfrac{1}{1\cdot 5}+\dfrac{1\cdot 3}{1\cdot4\cdot9}+\dfrac{1\cdot3\cdot5}{1\cdot 5 \cdot 9\cdot13}+ \ . . . =F\left(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{1}{2}\right)=$$

$$=\dfrac{\Gamma\left( \dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{5}{4}\right)}{\Gamma(1)\cdot\Gamma\left(\dfrac{3}{4}\right)}=\dfrac{1}{4}B\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)$$

2. $$N_2= 1+\dfrac{1}{ 3}+\dfrac{1\cdot 3}{3\cdot7}+\dfrac{1\cdot3\cdot5}{3\cdot 7 \cdot 11}+ \ . . . =1+\dfrac{1}{3}F\left(1,\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4},\dfrac{1}{2}\right)=$$ $$= 1+\dfrac{1}{3}\dfrac{\Gamma\left( \dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{7}{4}\right)}{\Gamma(1)\cdot\Gamma\left(\dfrac{5}{4}\right)}=1+\dfrac{\pi}{B\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)}$$

ссылка

отвечен 13 Авг 22:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×11
×1

задан
29 Мар 21:59

показан
207 раз

обновлен
13 Авг 22:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru