Для числа целых точек (т.е. точек $%(x, y),\, x, y \in \mathbb Z$%) в области, ограниченной кривой $%y= f(x) $%, где $%f(x) $% - непрерывная неотрицательная на отрезке $%[a, b] $% функция, и прямыми $% x= a, x=b, y = 0$%, есть формула $$\sum_{a \leq x \leq b}[f(x)]$$ Есть ли аналогичная формула или можно ли как-то обобщить формулу для нахождения числа целых точек внутри кривой или части кривой, заданной в полярных координатах $%r=f(\phi) $% и для параметрических кривых $%y=f(t), x=g(t) $%?

задан 3 Апр 14:53

изменен 6 Апр 20:52

Извиняюсь, аналогичных формул нет? Или для каждой отдельной кривой нужно находить свою формулу?

(6 Апр 20:35) Luffy

для параметрической функции просто надо вместо икса написать $%g(t)$%... а для полярных координат выразить икс и игрек и снова подставить в написанную формулу (хотя небольшая коррекция всё же потребуется)...

(6 Апр 20:47) all_exist

кстати, почему в неравенстве для икса одно условие строгое, а второе - нет?...

(6 Апр 20:48) all_exist

@all_exist, а если например задана функция вида $%r = c * sin(8\phi) $% или что-то вроде того, как можно выразить $%x, y $%?

(6 Апр 20:49) Luffy

@Luffy, Вы не знаете формул перехода от полярных координат к декартовым?...

(6 Апр 20:51) all_exist

@all_exist, скорее всего, я ошибся с границами, сейчас поправлю

(6 Апр 20:52) Luffy

@all_exist, я понимаю, что возможно выразить синусы и косинусы кратных углов, но там же получится длинное уравнение, причем не факт, что x и y как-то выразятся, или я ошибаюсь?

(6 Апр 20:54) Luffy

@all_exist, а если выразятся, то получится под корнем многочлен высокой степени, это можно как-то адекватно исследовать?

(6 Апр 20:58) Luffy

@Luffy, о чём это Вы?... я говорил про формулы $%x=r\cos\varphi,\; y=r\sin\varphi$%...

(6 Апр 21:00) all_exist

@all_exist, например, если задана кривая вида $%r = c * sin(7 \phi) $%, то надо выразить $%sin(7\phi) $% через x и y, а разве $%sin(7\phi) $% не многочлен от $%sin(\phi) $%? Как можно выразить $%sin(7\phi) $% через x и y?

(6 Апр 21:06) Luffy

@all_exist, я правильно понимаю, что мне нужно из например $%r= c \cdot sin(7\phi) $% получить зависимость $%y = f(x) $%? Вот я не понимаю, как получить эту зависимость

(6 Апр 21:16) Luffy

зачем Вам выражать игрек через икс явно?...

у Вас будет сумма по всем углам, при которых икс целый, а суммировать будете что-то выражаемое через игрек...

(6 Апр 21:22) all_exist

@all_exist, попробую разобраться, спасибо!

(6 Апр 21:32) Luffy

Боюсь, что все обобщения здесь если и возможны, но их трудно применить на практике. Всё равно фигуру придётся делить на какие-то хорошие части, чтобы узнать число целых точек.

(7 Апр 0:22) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,794

задан
3 Апр 14:53

показан
83 раза

обновлен
7 Апр 0:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru