Алгебра A - без единицы, порождена двумерным в.п. V над полем C, соотношения $$a^3=0 \forall a\in A$$ Доказать конечномерность A. Думаю, что надо либо идеал найти, либо, возможно, через ряд Гильберта, но в лоб посчитать не получается. Либо что-то чего не знаю/не учёл. Может кто помочь?

задан 4 Апр 1:10

1

Берём (a+b)^3=0, (a-b)^3=0, откуда над полем нулевой характеристики имеем a^2b=0. Беря (x+y)^2z=0, имеем xyz=0, то есть алгебра нильпотентна ступени <=3. Тогда всё раскладывается по конечному числу мономов e1, e2, e1^2,e2^2,e1e2,e2e1. Размерность не больше 6.

(4 Апр 1:19) falcao

А как у Вас получилось a^2b=0? У нас некоммутативный случай, у меня вышло лишь ba^2+aba+a^2b=0

(4 Апр 10:28) Shubert

@Shubert: да, конечно, Вы правы. Это я сильно упростил ситуацию.

Тогда так: aba=-ba^2-a^2b, уменьшая число вхождений b=e2, где a -- степень e1. В итоге всё выражается через мономы, где e2 входит не более одного раза, а их конечное число.

Тут есть какие-то более общие результаты, но я не помню подробностей.

(4 Апр 14:23) falcao

Не пойму, как уменьшается число вхождений b=e2? Как, например, выражается b^2?

(4 Апр 15:10) Shubert

@Shubert: оно уменьшается, если между b и b что-то есть. Мономы с e2^2 можно оставить -- там тоже остаётся конечное число.

(4 Апр 15:31) falcao

Случай ababa свёл к aba^2ba. А вот его у меня не получается уменьшить. Зацикливаюсь

(4 Апр 16:51) Shubert

@Shubert: тут у меня было много не до конца продуманных соображений в комментариях. Но я проделал "ревизию", и сейчас всё в окончательной форме попробую изложить.

(6 Апр 2:44) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Уже говорилось, что над полем характеристики 0 из основного тождества a^3=0 путём подстановок a:=x+y, a:=x-y получается тождество xxy+xyx+yxx=0, из которого основное тождество также следует.

Будем считать, что мономы от базисных элементов e1, e2 упорядочены сначала по длине, а потом лексикографически. Если моном выражается линейно через младшие мономы, то его можно не учитывать. Для простоты пусть далее x=e1, y=e2. Ясно, что если моном содержит куб некоторого монома (достаточно брать x, y, xy, yx), то он равен нулю. Далее, yxx=-xxy-xyx, то есть мономы, содержащие yxx, мы не учитываем. Кроме того, yyx=-xyy-yxy, то есть мономы, содержащие yyx, также не учитываем.

С учётом сказанного выше, можно нарисовать дерево из мономов, которые нами учитываются. Оно оказывается конечным. Приведём список из 9 максимальных мономов, которые при этом возникают:

xxyxyx

xxyxyy

xxyy

xyxyx

xyxyy

xyy

yxyxyy

yxyy

yy

То, что получаются именно такие мономы, проверяется вручную. Всего у дерева получится 22 вершины не считая начальной. Это значит, что размерность алгебры не превосходит 22. Будет ли эта оценка наилучшей, мне не известно.

ссылка

отвечен 6 Апр 3:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,860

задан
4 Апр 1:10

показан
56 раз

обновлен
6 Апр 3:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru