∬(x^2+y^2+z-1/2)dS, где интеграл по области S и S-это часть параболоида 2z=2-x^2-y^2, z>=0. думала перейти к сферическим координатам, но тогда не понятно как меняется r или он вообще не меняется.Если посчитать dS то:в dS=∬(r^2)cosθ dφdθ или вместо dφ надо dr? Сказали решить 2 способами: по формуле Остроградского и просто посчитать без формулы.

задан 29 Сен '13 23:40

Он вроде "в лоб" неплохо считается.. @Яська, сведите поверхностный интеграл к двойному ( по той области $%D$%, на которую проецируется поверхность $%S$% на плоскость $%XY$% ); а потом уже для этого двойного перейдете к полярным координатам. ( А "сферические координаты" здесь нигде не нужны.. (и параболоид вроде вообще не очень хорошо "сочетается" со сферическими координатами..))

(30 Сен '13 3:47) ЛисаА

Когда интегрируется 1, то это происходит при нахождении площади поверхности. Здесь же интегрируется другая функция, и там вместо $%z$% надо подставить то, чему оно равно из уравнения поверхности. А $%dS$% надо выразить по формуле. Далее получится двумерный интеграл по кругу. Как уже говорили, его лучше вычислять, перейдя в полярную систему координат.

(30 Сен '13 15:05) falcao

А откуда взялся показатель степени $%1/2$% после подстановки $%z$%? Его там быть не должно. Кроме того, при полярной замене $%x^2+y^2$% просто заменяется на $%r^2$%.

(30 Сен '13 15:54) falcao

да,там не надо в степени.А перейти просто к полярным если то взять x=rcosφ, y=rsinφ, z=r? тогда получится ∬(r^2+1/2)rdr,где r меняется от 0 до корня из двух? получается что здесь меняется только r а ведь еще например φ должен меняться..

(30 Сен '13 17:33) Яська

Прежде чем переходить к полярным координатам, надо избавиться от $%z$%. Равенство $%z=r$% ничему не соответствует. Его применять не надо. При замене $%x$% и $%y$% равны тому, что написано, но дело в том, что $%x^2+y^2$% можно сразу заменять на $%r^2$% ввиду основного тригонометрического тождества. Надо также не забыть домножить на $%r$%, то есть на якобиан замены. Но перед этим надо выразить $%dS$% по формуле из учебника. Угол $%\varphi$% при интегрировании по кругу меняется от $%0$% до $%2\pi$%.

(30 Сен '13 21:34) falcao

так я же избавилась от z когда получила ∬(r^2+1/2)rdr.правда не понимаю если мы домножаем на якобиан, все равно надо считать ds?и если не надо применять равенство z=r то как я смогу посчитать ds?ведь должно быть 3 координаты а у меня получится только 2.

(30 Сен '13 23:46) Яська

Ниже @ЛисаА всё подробно объяснила -- в частности, то, как находить $%dS$% (по общей формуле).

(1 Окт '13 1:04) falcao

@falcao, извините)) я решила все-таки расписать - комментарии здесь "предусмотрены" не очень объемные - а похоже, что надо подсказать подробней..

(1 Окт '13 1:10) ЛисаА
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

Опять надо переделать комментарии в ответ.. (комментариев уже очень много..)
@Яська, если у Вас поверхность задана явно: $%z = z(x;y)$%, то элемент поверхности: $%dS = \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} \cdot dx dy$%.
Здесь $%z = 1 - \frac{1}{2}\cdot x^2 - \frac{1}{2}\cdot y^2$%, и $%dS = \sqrt{1 + x^2 + y^2}\cdot dxdy$%. Т.е. Вы приводите поверхностный интеграл к двойному по области $%D: {x^2 + y^2 <= 2}$% (да, уже говорилось: область интегрирования будет круг с центром $%(0;0)$% и радиусом $%r = \sqrt{2}$%) -- и получаете двойной интеграл вида: $%\int\int [x^2 + y^2 + (1 - \frac{1}{2}\cdot x^2 - \frac{1}{2}\cdot y^2) -\frac{1}{2}]\cdot \sqrt{1 + x^2 + y^2}dxdy $%
то есть $%\int\int [ \frac{1}{2}\cdot x^2 + \frac{1}{2}\cdot y^2 +\frac{1}{2}]\cdot \sqrt{1 + x^2 + y^2}dxdy = \frac{1}{2}\cdot \int\int (1 + x^2 + y^2)^{3/2}dxdy$%

@Яська, до этого никаких "переходов в другую систему координат" не было.. Только теперь ( "забыли", что был "поверхностный интеграл"=)) переходим к "другим" координатам - к полярным: и здесь уже $%x^2 + y^2 = r^2$%, и Якобиан перехода =$%r$% (т.е. $%dxdy = r\cdot drd\varphi$%) - посмотрите комментарии @falcao ( Вам уже подсказали "всё" про двойной интеграл =))

ссылка

отвечен 1 Окт '13 0:55

изменен 1 Окт '13 0:58

@ЛисаА: это я отвечаю на Ваш комментарий выше (там уже нет места). Вы совершенно правильно сделали, что дали "развёрнутое" объяснение. Так для всех будет полезнее. Я считаю, что такого рода "подсказки" не уместны в случаях, когда кто-то хочет получить готовое решение, ни в чём не разбираясь. Но здесь человек явно пытается понять способ решения, поэтому помочь -- дело хорошее.

(1 Окт '13 1:26) falcao

Да, здесь видно, что @Яська решает сама.. И похоже, я там "вытеснила" последним комментарием какой-то из комментариев от @Яська.. =(
(@falcao, не подскажете: сколько комментариев может быть - до тех пор, пока они не начинают "вытеснять" друг друга ? )

(1 Окт '13 1:41) ЛисаА

@ЛисаА: к сожалению, я сам не понимаю того, как устроен здесь лимит на число комментариев. Бывает так, что "ветка" тянется достаточно длинная, и возможность оставить комментарий сохраняется. А бывает так, что всё очень быстро заканчивается. Иногда помогает удаление каких-то предыдущих комментариев, утративших актуальность, но так бывает не всегда. Вообще, интерфейс во многих отношениях оставляет желать лучшего.

(1 Окт '13 1:55) falcao

Спасибо, поняла)) и этот мой комментарий я потом удалю ( он не нужен..) Наверное, лучше просто стараться не продолжать комментарии "долго".. - а то потом часть из них пропадает, не всегда понятно, о чем говорили.. =)

(1 Окт '13 1:59) ЛисаА

Спасибо большое! все очень понятно.Правда про формулу такую для ds не знала( проходили такую:ds=(EG-F)^1/2.Не могли бы еще мне помочь разобраться с формулой Остроградского.(я имею в виду посчитать тот же самый интеграл, но с помощью этой формулы)Хочу проверить правильно ли посчитала и просто понять, как нужно ее применять.P.S готовые решения лично мне помогают, если только понять все детально,а просто так списать их мне нет смысла, так как хочу научиться сама решать.А для этого хотя бы на одном примере все разобрать лично для меня очень полезно)

(1 Окт '13 19:23) Яська
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×9

задан
29 Сен '13 23:40

показан
995 раз

обновлен
1 Окт '13 19:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru