alt text

Найти сумму данного ряда с помощью вычетов. Помогите, пожалуйста.

задан 5 Апр 1:40

изменен 5 Апр 1:41

1

@vadim11: тут нет ряда. Есть конечные суммы.

(5 Апр 1:55) falcao

@falcao, простите, задание было сформулировано криво. А каким образом находится эта конечная сумма?

(5 Апр 1:58) vadim11
1

@vadim11: как посчитать без использования вычетов, я себе представляю, а как это сделать с их использованием, не знаю.

(5 Апр 2:37) falcao

@falcao, а каким образом можно вычислить без вычетов?

(5 Апр 2:46) vadim11

@vadim11: составить уравнение, корнями которого будут косинусы, а потом найти сумму обратных им величин через теорему Виета.

(5 Апр 3:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Вам надо искусственно подобрать подходящую комплексную функцию в подходящей области и воспользоваться основной теоремой теории вычетов. В данном случае подходит $$\varphi(z) = \frac{\textrm{ctg}\frac{N z}{2}}{\cos z},\,\,N=2n+1.$$ Далее примите во внимание формулу (есть, например, как упражнение в задачнике Евграфова): $$\sum_{k=0}^{N-1}f\left(\frac{2k\pi}{N}\right)=-\frac{N}{2}\sum_{s=1}^m \textrm{Res}_{z=a_s}\left[\varphi(z),z=a_s\right].$$ Доказывается она для полосы $$0<\textrm{Re}{z}<2\pi.$$ Насколько я помню, там возникает необходимость вычисления двух полувычетов в - нуле и в $$z=2\pi.$$ Эти полувычеты гасят друг друга в силу периодичности. Необходимость введения $$N=2n+1$$ связана с особенностью суммы в условии задачи, при этом используется чётность косинуса и отсекаетя и затем снова пришивается единица (слагаемое с нулевым номером). У меня в итоге получилось выжение $$S_n= \frac{(2n+1)(-1)^n+1}{2},$$ проверил в лоб для трёх младших номеров, не считая нуля.

ссылка

отвечен 5 Апр 16:57

Да, котангенс в таких ситуациях хорошо работает.

(5 Апр 19:44) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×802
×121
×80

задан
5 Апр 1:40

показан
91 раз

обновлен
5 Апр 19:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru