1
1

а) Можно ли расставить в таблице $%5\times 5$% различные натуральные числа так, чтобы разность любых двух соседних по стороне чисел была равна либо 4, либо 7? (При вычислении разности из большего вычитается меньшее.)

б) Существует ли натуральное $%k\geqslant 2$%, при котором в таблице $%k\times k$% указанная в предыдущем пункте расстановка невозможна?

задан 5 Апр 2:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Поместим в клетку (i,j) число 4i+7j. Все числа окажутся попарно различными. В самом деле, если 4i+7j=4s+7t, то 4|i-s|=7|t-j|, откуда i-s делится на 7, поэтому i=s, и тогда j=t. Эта же конструкция работает для досок kxk при k<=7.

б) Положим k=15 и рассмотрим центральную клетку доски. Легко понять, что если клетка не граничная, и в ней написано число a, то в соседних с ней четырёх клетках расположены числа a+4, a-4, a+7, a-7. Поэтому всегда можно переместиться как в клетку с увеличением числа на 4, таи в клетку с увеличением на 7.

Сделаем 4 хода, увеличивая число на 7. Мы переместимся в клетку с числом a+28. Поскольку число ходов чётно, мы сохраняем шахматный цвет клетки. Аналогично, можно сделать 7 ходов, увеличивая число на 4 (до границы мы после 6 ходов не доходим, то есть всегда есть 7-й ход). Получаем также a+28, но уже в другой клетке, так как здесь шахматный цвет меняется. Оказывается, что два числа в разных клетках совпали.

Более подробный анализ способен показать, что уже при k=8 требуемое расположение невозможно.

ссылка

отвечен 5 Апр 11:34

@falcao, большое спасибо!

(5 Апр 21:04) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×87
×19
×6
×1
×1

задан
5 Апр 2:35

показан
57 раз

обновлен
5 Апр 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru