|
Нужно исследовать интеграл $$\int \limits_{0}\limits^{1}\frac{sin(\alpha x)}{\sqrt{|x - \alpha|}}$$ на множестве $%E_1 = [0, 1]$%. Мне кажется, что интеграл сходится, и нужно применять признак Дирихле, но если взять $%g(x) = \frac{1}{\sqrt{|x - \alpha|}}$%, то непонятно как доказать, что она равномерно сходится к нулю... задан 5 Апр 17:57 
MsMe |
|
Решил привести обоснование, ибо там есть кое-какой тонкий момент, связанный с параметром в верхнем пределе интегрирования. Рассмотрю только интеграл $%\displaystyle\int\limits_0^\alpha\dfrac{\sin\alpha x}{\sqrt{\alpha-x}}dx$%. После замены $%\alpha-x=y$% получим интеграл $%\displaystyle\int\limits_0^\alpha\dfrac{\sin\alpha (\alpha-y)}{\sqrt{y}}dy=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\sin\alpha (\alpha-y)}{\sqrt{y}}\chi_{(0,\alpha)}(y)dy$%. Теперь, оцениваем $%|\sin\alpha (\alpha-y)\cdot\chi_{(0,\alpha)}(y)|\leq|\alpha (\alpha-y)|\leq2$% и применяем признак Вейерштрасса. Получаем, что при $%\alpha\in(0,1]$% интеграл сходится равномерно. Но и при $%\alpha=0$% интеграл сходится (т.к. характеристическая функция всюду равна нулю), поэтому он сходится равномерно при $%\alpha\in[0,1]$%. Второй интеграл исследуем аналогично. отвечен 5 Апр 19:25 
caterpillar |
Тут надо рассмотреть два интеграла, по разному раскрывая модуль и сделать замену, к примеру, x-alpha=y. Тогда к каждому из интегралов можно применить признак Вейерштрасса, т.к. синус оценивается сверху синусом от единицы.
почему g должна сходиться к нулю?...
@all_exist, в том то и дело, что не должна. Но я как то пытался подогнать под признак Дирихле, поэтому я и хотел проверить сходимость к нулю g(x)