Нужно исследовать интеграл $$\int \limits_{0}\limits^{1}\frac{sin(\alpha x)}{\sqrt{|x - \alpha|}}$$ на множестве $%E_1 = [0, 1]$%.

Мне кажется, что интеграл сходится, и нужно применять признак Дирихле, но если взять $%g(x) = \frac{1}{\sqrt{|x - \alpha|}}$%, то непонятно как доказать, что она равномерно сходится к нулю...

задан 5 Апр 17:57

Тут надо рассмотреть два интеграла, по разному раскрывая модуль и сделать замену, к примеру, x-alpha=y. Тогда к каждому из интегралов можно применить признак Вейерштрасса, т.к. синус оценивается сверху синусом от единицы.

(5 Апр 18:34) caterpillar

почему g должна сходиться к нулю?...

(5 Апр 18:36) all_exist

@all_exist, в том то и дело, что не должна. Но я как то пытался подогнать под признак Дирихле, поэтому я и хотел проверить сходимость к нулю g(x)

(5 Апр 18:48) MsMe
10|600 символов нужно символов осталось
1

Решил привести обоснование, ибо там есть кое-какой тонкий момент, связанный с параметром в верхнем пределе интегрирования. Рассмотрю только интеграл $%\displaystyle\int\limits_0^\alpha\dfrac{\sin\alpha x}{\sqrt{\alpha-x}}dx$%. После замены $%\alpha-x=y$% получим интеграл $%\displaystyle\int\limits_0^\alpha\dfrac{\sin\alpha (\alpha-y)}{\sqrt{y}}dy=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\sin\alpha (\alpha-y)}{\sqrt{y}}\chi_{(0,\alpha)}(y)dy$%. Теперь, оцениваем $%|\sin\alpha (\alpha-y)\cdot\chi_{(0,\alpha)}(y)|\leq|\alpha (\alpha-y)|\leq2$% и применяем признак Вейерштрасса. Получаем, что при $%\alpha\in(0,1]$% интеграл сходится равномерно. Но и при $%\alpha=0$% интеграл сходится (т.к. характеристическая функция всюду равна нулю), поэтому он сходится равномерно при $%\alpha\in[0,1]$%. Второй интеграл исследуем аналогично.

ссылка

отвечен 5 Апр 19:25

изменен 5 Апр 19:48

А разве интеграл будет от 0 до $%\alpha$%? Почему не до $%\alpha + 1$%

(5 Апр 21:13) MsMe

@MsMe: а как могло получиться alpha+1?

(5 Апр 21:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,326
×289

задан
5 Апр 17:57

показан
56 раз

обновлен
5 Апр 21:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru