Сколько корней имеет уравнение:

$% 2^{lg( x^{2} -3)} =lg 2^{ x^{2}-2 } ?$%

задан 5 Апр 20:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%y=x^2-3 > 0$%. Уравнение примет вид $%2^{\,\lg y}=\lg2^{y+1}$%. В левой части мы число $%2=10^{\lg 2}$% возводим в степень, и получается $%f(y)=y^{\,\lg2}$%. Правая часть равна $%g(y)=(y+1)\lg2$% по свойству логарифмов.

При стремлении $%y$% к нулю справа имеем $%f(y)\to0$%, $%g(y)\to\lg2$%, то есть вблизи нуля имеет место неравенство $%f(y) < g(y)$%. При $%y=1$% имеем $%f(y)=1 > \lg4=g(y)$%, откуда следует, что на интервале $%y\in(0,1)$% имеется корень уравнения.

Далее, при $%y=10$% получается $%f(y)=2 < 11\lg2=g(y)$%, и на интервале $%y\in(1,10)$% имеется ещё один корень.

Для функции $%f(y)=y^c$%, где $%c=\lg2 > 0$% мы имеем $%f'(y)=cy^{c-1}$%; $%f''(y)=c(c-1)y^{c-2} < 0$%, так как $%0 < c < 1$%. Если бы уравнение $%f(y)-g(y)=0$% имело более двух корней, то между соседними корнями уравнения имелись бы корни производной, а между корнями производной -- корень второй производной. Однако это не так, поскольку функция $%g(y)$% линейна, и её вторая производная тождественно нулевая.

Итого относительно $%y$% имеются ровно два корня $%0 < y_1 < y_2$%, и относительно $%x$% получается 4 корня $%\pm\sqrt{3+y_i}$%, где $%i=1,2$%.

ссылка

отвечен 5 Апр 20:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,938

задан
5 Апр 20:19

показан
55 раз

обновлен
5 Апр 20:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru