alt text

Нужно найти число корней данного уравнения в полуплоскости Rez>0. Подскажите, пожалуйста, какой метод лучше применить для данного уравнения. Я пробовал и с помощью теоремы Руше, и с применением принципа аргумента, но так к ответу не пришел.

задан 5 Апр 23:47

изменен 5 Апр 23:47

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%f(z)=z^3-z+3$%, $%g(z)=-(z+2)e^{-z}$%. Рассмотрим семейство прямоугольников с вершинами $%(0,\pm iR)$%, $%(R,\pm iR)$%, $%R>0$%. Тогда $%|f(iy)|^2=|-iy^3-iy+3|^2=9+y^2(1+y^2)^2$%. При этом $%|g(iy)|^2=|2+iy|^2=4+y^2<9+y^2(1+y^2)^2=|f(iy)|^2$%. Далее, при достаточно больших $%|z|$% имеем: $%|f(z)|=|z^3-z+3|\geq||z|^3-|z-3||\geq|z|^3-|z|-3$%, что можно сделать сколь угодно большим, выбирая подходящее $%R$%. С другой стороны, $%|g(R+iy)|^2=|(R+2+iy)e^{-R}|^2\leq((R+2)^2+R^2)e^{-2R}$%, а это можно сделать сколь угодно малым при выборе достаточно большого $%R$%. Наконец, $%|g(z)|=|z+2|e^{-x}$% и на верхней и нижней сторонах прямоугольника будет $%|g(z)|=|z+2|e^{-x}\leq|z+2|\leq|z|+2$% и это можно сделать меньше, чем $%|z|^3-|z|-3$% при достаточно больших $%R$%.

Итак, при $%R>R_0$%, на всей границе прямоугольника $%|f(z)|>|g(z)|$%. При этом правая полуплоскость представляет собой объединение таких прямоугольников. Поскольку уравнение $%f(z)=0$% имеет в правой полуплоскости два корня (обоснуйте это в качестве упражнения), то уравнение $%f(z)+g(z)=0$% также имеет в правой полуплоскости два корня.

ссылка

отвечен 6 Апр 6:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×394
×209

задан
5 Апр 23:47

показан
53 раза

обновлен
6 Апр 6:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru