комплексный-анализ - Аналитическое продолжение функции

Тут надо использовать стандартную теорему аналитического продолжения, формулировку которой я приведу постепенно с ходом рассуждений. Сперва покажем (и этого будет уже достаточно), что в области $%\text{Im}z>0$% функция $%f(z)$% действительно аналитична.

Пусть $%g(t,z)=\dfrac{e^{-t^2}}{(t-z)^4}$%. Ясно, что эта функция непрерывна по совокупности переменных на $%\mathbb{R}\times\{\text{Im}z>0\}$%. Это первое условие нашей теоремы. Далее, при каждом фиксированном $%t\in\mathbb{R}$% функция $%g(t,z)$% аналитична по $%z$% в области $%\text{Im}z>0$%. Это второе условие теоремы. Наконец, третьим условием требуется показать, что интеграл сходится равномерно по $%z\in D$% в любой замкнутой подобласти $%D\subset\{\text{Im}z>0\}$%.

Рассмотрим для этого полуполосу $%\{|x|\leq a\}\times\{y\geq b\}$% при $%a,b>0$%. При всех $%z$% из этой полуполосы $%|t-z|^2=(t-x)^2+y^2\geq t^2-2tx\geq t^2-2|tx|\geq t^2-2|t|a\geq\dfrac{t^2}{2}$% при $%|t|\geq4a$%. Тогда $%|g(t,z)|\leq\dfrac{4e^{-t^2}}{t^4}$% при $%|t|\geq4a$%. Поскольку интеграл от полученной функции по множеству $%|t|\geq4a$% сходится, то, по мажорантному признаку Вейерштрасса интеграл $%f(z)$% сходится равномерно по $%z$% в полуполосе. Поскольку числа числа $%a$% и $%b$% можно выбирать произвольно, то интеграл будет сходиться в любой замкнутой подобласти верхней полуплоскости.

Теперь указанная теорема позволяет заключить, что $%f(z)$% аналитична в области $%\{\text{Im}z>0\}$%. Совершенно точно также доказывается аналитичность и в области $%\{\text{Im}z<0\}$%. Проделайте это самостоятельно. Таким образом, интеграл аналитически продолжаем на всю комплексную плоскость, за исключением действительной оси.