|
Доказать, что $$ \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}} = 3$$ задан 24 Фев '12 22:15 
ASailyan |
|
Вы имеете в виду выражение $%\sqrt[3]{(6+\sqrt{847/27})}+\sqrt[3]{(6−\sqrt{847/27})}$%? Если так, стандартное преобразование такое: обозначаем корни кубические через u и v, надо найти a=u+v. Имеем $%u^3 + v^3$% = 12, uv = $%{125\over27}^{1/3}$% =5/3. Тогда $%a^3 = 12+5a$%. Дополнение для BuilderС (комментарии не добавляются). То, что Вы предлагаете - решить уравнение относительно a - это другая задача. Смотрите сами: в комплексной плоскости корень кубический - трехзначен, так что мы могли бы вместо 3 взять и другие значения (всего - 3, см. кубическое уравнение). При этом все преобразования, сделанные Вами, сохранятся. Откуда же Вы знаете, что искомое выражение равно именно 3, а не двум другим возможным числам? Только потому, что оно - вещественно. Но Вы же этим не пользовались! отвечен 24 Фев '12 22:40 
DocentI Это решение мне знакома. Я обозначила значение выражения через $% а$%. Потом возведила на степень 3, воспользовалась формулой $% (а+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$%, получила тот же уравнение. Но хочу найти другое решение.
(25 Фев '12 0:22)
ASailyan
Т.е. извлечь корни, то ли? Если искать их в виде $%1,5+p\sqrt{7/3}$% и $%1,5-p\sqrt{7/3}$%, можно показать, что p=1/2. Но этот путь более долгий.
(25 Фев '12 1:04)
DocentI
|
|
Позвольте с двумя копейками. $$(6+a)^{1/3} + (6-a)^{1/3}=3$$ Возводим обе части равенства в куб. Получаем слева:$$3(6-a)^{1/3}(6+a)^{2/3}+3(6-a)^{2/3}(6+a)^{1/3}+12=$$$$3(6-a)^{1/3}(6+a)^{1/3}[(6+a)^{1/3} + (6-a)^{1/3}]+12=$$$$=3(6-a)^{1/3}(6+a)^{1/3}*[3]+12$$ Равенство:$$36-a^2=125/27=>$$$$a=\pm(11/9)\sqrt{21}=\pm\sqrt{847/27}$$, ч.т.д. Где ставить знак качества? отвечен 25 Фев '12 20:02 
BuilderC Это мало отличается от моего первого ответа. Разве что, у вас доказано обратное утверждение: если заданное выражение равно 3, то противоречий нет. Но на самом деле равносильность следует из того, что у выписанного выше кубического уравнения ровно 1 корень. Иначе Вы могли бы подставить в него какой-нибудь другой корень и тоже получить равенство.
(25 Фев '12 20:16)
DocentI
Не согласен: я свел все к простейшему квадратному уравнению, в то время как у Вас уравнение кубическое, а вслед за ним следует недостаточно внятная (для меня) фраза о "стандартном исследовании".
(25 Фев '12 20:25)
BuilderC
Зато внятная для автора вопроса: она считала также. Ваше преобразование - именно то, которое применил Кардан для решения кубического уравнения специального типа (без x^2). Оно сводит дело к промежуточному квадратному уравнению. Дело не в этом. Вы процессе решения только доказали, что если a= 3, то a = 3 - утверждение, которое не требует и квадратного уравнения. Ваше преобразование не равносильно (там, где Вы заменяете сумму в скобках числом 3). Фактически Вы получили то же кубическое уравнение, что и у нас, и показали, что 3 - его корень. Но надо еще убедитиься, что других корней нет.
(25 Фев '12 20:29)
DocentI
если a= 3, то a = 3 ... Не понял, что Вы сказали. Как говорил киноперсонаж Г.Ричи по кличке "Ломщик": "Это что, такая шутка белого человека?"
(25 Фев '12 20:37)
BuilderC
Конечно, возведение в куб - равносильное преобразование. Но вот дальше... Предположим, что после преобразования Вы получили бы уравнение (x -1)(x-2) = 0 и хотите доказать, что x = 2. Подставляете - получается верно. Ура! Но ведь на самом деле x может быть равен и 1. Вы сделали то же самое, когда скобку заменили на 3: вы предположили, что сумма равна 3 и оказалось, что это не противоречит уравнению. Но ведь могли быть и другие корни у этого уравнения - какой же из них равен искомому выражению?
(25 Фев '12 20:44)
DocentI
Разве рассуждение типа: "Предположим, утверждение, что сумма кубич. корней равна 3 - верно, тогда под квадратным корнем мы должны получить (в том числе и) 847/27, и плевать на все остальные величины, которые еще могут получиться", - неправомерно?
(25 Фев '12 21:07)
BuilderC
Верно. И что? Это утверждение обратное исходному. А обратное утверждение не равносильно (вообще говоря) прямому. Вполне возможно, что такое же подкоренное число мы получим при каком-то другом значении правой части.
(25 Фев '12 21:10)
DocentI
Не понимаю Вас, хотя искренне хочу понять. Ну, предположим, что задача состояла бы не в доказывании равенства, а в решении уравнения относительно "а"(см.мой ответ). Разве найденный корень был бы неверен?
(25 Фев '12 21:22)
BuilderC
Хорошая работа у @BuilderC,но недостойна знака качества. А на счет равносилия я согласна с @DocentI. Например при решении $%\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=1$% , когда после возведения в 3-й степень, выражение равное левой части исходного уравнения заменяем на 1, то получаем лишний корень-0.Причина хорошо обяснила @DocentI.
(25 Фев '12 21:52)
ASailyan
показано 5 из 9
показать еще 4
|
отвечен 26 Фев '12 16:15 
Pikachu И что далее? Будет ли это решение лучше стандартного, которое ASailyan почему-то не понравилось?
(26 Фев '12 16:18)
DocentI
|
|
BuilderC, Ваши две копейки - замечательный ход конём! отвечен 26 Фев '12 19:47 
nikolaykruzh... Чего хохотали-то? Как-то не очень звучит. Может, уберете это слово?
(27 Фев '12 2:44)
DocentI
Убрал бы, но слово - не воробей
(28 Фев '12 21:38)
nikolaykruzh...
|
|
Мне удалась извлечь корень $$ \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}=\frac{9+\sqrt{21}}{6}$$ , $$ \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}=\frac{9-\sqrt{21}}{6}$$ Отсюда $$ \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}=\frac{9+\sqrt{21}}{6}+\frac{9-\sqrt{21}}{6}=3$$. А к этому результату дошла обозначив $$ \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}=x, \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}=\frac{5}{3x}$$,а потом решила простое уравнение $$ x+ \frac{5}{3x}=3$$ отвечен 27 Фев '12 0:58
ASailyan Пока не продумала до конца, но некоторые сомнения в корректности все же возникают. Впрочем, их можно разрешить простой проверкой, возведя в куб найденный корень. Идея хорошая.
(27 Фев '12 2:13)
DocentI
Додумываю решение ASailian. Например, так: обозначим слагаемые через u и v. Имеем uv = 5/3. Если предположить, что u + v = 3, то (по теореме Виета) u и v являются корнями уравнения $%t^2-3t+5/3=0$%. Это числа $%{3\over2}+{\sqrt{21}\over 6}$% и $%{3\over2}-{\sqrt{21}\over 6}$%.
(28 Фев '12 23:20)
DocentI
|
|
Положим $$x = \root 3 \of {6 + \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } + \root 3 \of {6 - \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } $$ Возведем равенство в куб, используя формулу сокращенного умножения: $%{(a + b)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b)$%, где $$a = \root 3 \of {6 + \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } ,\,\,\,\,\,b = \root 3 \of {6 - \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } $$ Тогда получим $${x^3} = 12 + 5x \Leftrightarrow {x^3} - 5x - 12 = 0$$ Заметим, что число $%3$% является корнем данного уравнения. Далее поделив $%{x^3} - 5x - 12$% на $%x - 3$% в столбик получаем $${x^3} - 5x - 12 = (x - 3)({x^2} + 3x + 4)$$ Теперь ясно, что $%x = 3$% единственный корень кубического уравнения. Отсюда $$x = \root 3 \of {6 + \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } + \root 3 \of {6 - \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } = 3$$ отвечен 6 Ноя '14 21:00 
void_pointer @void_pointer: Ваше решение полностью совпадает с первым ответом. Выше я привел тождество, которое описывает все подобные примеры.
(6 Ноя '14 21:13)
EdwardTurJ
Да но вы не показали, почему данная вами формула будет выполнятся для всех чисел данного вида. Она действительно работает, но как вы докажите, что она будет работать для всех примеров данного типа.
(6 Ноя '14 21:29)
void_pointer
Насчет первого ответа вы правы я его упустил. Но у меня более развернутое решение.
(6 Ноя '14 21:30)
void_pointer
|
Это надо переписать как $$ (6+\sqrt{\frac{847}{27}})^{\frac{1}{3}}+(6 - \sqrt{\frac{847}{27}})^{\frac{1}{3}} = 3$$ Решить уже не успеваю, но попробуй сначала скобки внутри домножением упростить.
Квадратный корень можно частично извлечь, $%\sqrt{847/27}={11\sqrt{7}\over3\sqrt{3}}$%
Чтобы записать корень кубический, можно использовать \sqrt[3]{ }
Для BuilderC - см. добавление к моему ответу. Конечно, уравнение с правой частью "3" дает под корнем 847/27. Но откуда Вы знаете, что то же уравнение с другой правой частью не даст того же? Это следует только из единственности корня, которую Вы не используете.