Доказать, что

$$ \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}} = 3$$

задан 24 Фев '12 22:15

изменен 25 Фев '12 15:58

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Это надо переписать как $$ (6+\sqrt{\frac{847}{27}})^{\frac{1}{3}}+(6 - \sqrt{\frac{847}{27}})^{\frac{1}{3}} = 3$$ Решить уже не успеваю, но попробуй сначала скобки внутри домножением упростить.

(24 Фев '12 22:27) Balon

Квадратный корень можно частично извлечь, $%\sqrt{847/27}={11\sqrt{7}\over3\sqrt{3}}$%

(25 Фев '12 1:07) DocentI

Чтобы записать корень кубический, можно использовать \sqrt[3]{ }

(25 Фев '12 1:24) DocentI

Для BuilderC - см. добавление к моему ответу. Конечно, уравнение с правой частью "3" дает под корнем 847/27. Но откуда Вы знаете, что то же уравнение с другой правой частью не даст того же? Это следует только из единственности корня, которую Вы не используете.

(25 Фев '12 21:30) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
3

Вы имеете в виду выражение $%\sqrt[3]{(6+\sqrt{847/27})}+\sqrt[3]{(6−\sqrt{847/27})}$%? Если так, стандартное преобразование такое: обозначаем корни кубические через u и v, надо найти a=u+v. Имеем $%u^3 + v^3$% = 12, uv = $%{125\over27}^{1/3}$% =5/3. Тогда $%a^3 = 12+5a$%.
Стандартное исследование показывает, что уравнение имеет один корень. а число 3 подходит

Дополнение для BuilderС (комментарии не добавляются). То, что Вы предлагаете - решить уравнение относительно a - это другая задача. Смотрите сами: в комплексной плоскости корень кубический - трехзначен, так что мы могли бы вместо 3 взять и другие значения (всего - 3, см. кубическое уравнение). При этом все преобразования, сделанные Вами, сохранятся. Откуда же Вы знаете, что искомое выражение равно именно 3, а не двум другим возможным числам? Только потому, что оно - вещественно. Но Вы же этим не пользовались!
Но дело даже не в этом. Если Вы в последнем соотношении сразу замените a на его значение, вы получите, что доказываемое равенство равносильно такому: 5*<искомое выражение> = 27-12 = 15. Т.е. Вы предположили, что заданное равенство верно, т.е. <искомое> =3 и вывели из этого, что оно равно 3. Ну и что?
А вдруг, предположив, что искомое равно 4, вы с помощью преобразований снова получите, что оно равно 4: ведь из ложного предположения следует все, что угодно!
Доведу Ваш метод до абсурда. Докажем, что -1 = 1. Обозначим левую часть за a, возведем равенство в квадрат. Получим, что a^2=1. Подставим сюда a = 1 - получаем верное равенство. В чем ошибка? В том, что преобразования нельзя провести в обратном порядке, т.к. корень уравнения a^2 = 1 - не единственный.
Вот и в нашей задаче, преобразование равносильное потому, что у данного кубического уравнения один корень. Но это еще надо доказать!

ссылка

отвечен 24 Фев '12 22:40

изменен 25 Фев '12 22:12

Это решение мне знакома. Я обозначила значение выражения через $% а$%. Потом возведила на степень 3, воспользовалась формулой $% (а+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$%, получила тот же уравнение. Но хочу найти другое решение.

(25 Фев '12 0:22) ASailyan

Т.е. извлечь корни, то ли? Если искать их в виде $%1,5+p\sqrt{7/3}$% и $%1,5-p\sqrt{7/3}$%, можно показать, что p=1/2. Но этот путь более долгий.
Зная, чему равны корни, можно скомпоновать подкоренный выражения так, чтобы корни извлеклись. Но это будет очень искуственное преобазование

(25 Фев '12 1:04) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
3

Позвольте с двумя копейками. $$(6+a)^{1/3} + (6-a)^{1/3}=3$$ Возводим обе части равенства в куб. Получаем слева:$$3(6-a)^{1/3}(6+a)^{2/3}+3(6-a)^{2/3}(6+a)^{1/3}+12=$$$$3(6-a)^{1/3}(6+a)^{1/3}[(6+a)^{1/3} + (6-a)^{1/3}]+12=$$$$=3(6-a)^{1/3}(6+a)^{1/3}*[3]+12$$ Равенство:$$36-a^2=125/27=>$$$$a=\pm(11/9)\sqrt{21}=\pm\sqrt{847/27}$$, ч.т.д.

Где ставить знак качества?

ссылка

отвечен 25 Фев '12 20:02

изменен 25 Фев '12 20:40

Это мало отличается от моего первого ответа. Разве что, у вас доказано обратное утверждение: если заданное выражение равно 3, то противоречий нет. Но на самом деле равносильность следует из того, что у выписанного выше кубического уравнения ровно 1 корень. Иначе Вы могли бы подставить в него какой-нибудь другой корень и тоже получить равенство.

(25 Фев '12 20:16) DocentI

Не согласен: я свел все к простейшему квадратному уравнению, в то время как у Вас уравнение кубическое, а вслед за ним следует недостаточно внятная (для меня) фраза о "стандартном исследовании".

(25 Фев '12 20:25) BuilderC

Зато внятная для автора вопроса: она считала также. Ваше преобразование - именно то, которое применил Кардан для решения кубического уравнения специального типа (без x^2). Оно сводит дело к промежуточному квадратному уравнению.

Дело не в этом. Вы процессе решения только доказали, что если a= 3, то a = 3 - утверждение, которое не требует и квадратного уравнения. Ваше преобразование не равносильно (там, где Вы заменяете сумму в скобках числом 3). Фактически Вы получили то же кубическое уравнение, что и у нас, и показали, что 3 - его корень. Но надо еще убедитиься, что других корней нет.

(25 Фев '12 20:29) DocentI

если a= 3, то a = 3 ... Не понял, что Вы сказали. Как говорил киноперсонаж Г.Ричи по кличке "Ломщик": "Это что, такая шутка белого человека?"

(25 Фев '12 20:37) BuilderC

Конечно, возведение в куб - равносильное преобразование. Но вот дальше... Предположим, что после преобразования Вы получили бы уравнение (x -1)(x-2) = 0 и хотите доказать, что x = 2. Подставляете - получается верно. Ура! Но ведь на самом деле x может быть равен и 1. Вы сделали то же самое, когда скобку заменили на 3: вы предположили, что сумма равна 3 и оказалось, что это не противоречит уравнению. Но ведь могли быть и другие корни у этого уравнения - какой же из них равен искомому выражению?

(25 Фев '12 20:44) DocentI

Разве рассуждение типа: "Предположим, утверждение, что сумма кубич. корней равна 3 - верно, тогда под квадратным корнем мы должны получить (в том числе и) 847/27, и плевать на все остальные величины, которые еще могут получиться", - неправомерно?

(25 Фев '12 21:07) BuilderC

Верно. И что? Это утверждение обратное исходному. А обратное утверждение не равносильно (вообще говоря) прямому. Вполне возможно, что такое же подкоренное число мы получим при каком-то другом значении правой части.
В реальности этого, конечно, не будет, т.к. для кубических уравнений с несколькими корнями преобразование Кардана приводит к отрицательным значениям под квадратным корнем. Но это опять из теории кубических уравнений. Посмотрите ее где-нибудь.
Над полем комплексных чисел данная задача будет иметь 3 решения и только одно из них - вещественное.

(25 Фев '12 21:10) DocentI

Не понимаю Вас, хотя искренне хочу понять. Ну, предположим, что задача состояла бы не в доказывании равенства, а в решении уравнения относительно "а"(см.мой ответ). Разве найденный корень был бы неверен?

(25 Фев '12 21:22) BuilderC

Хорошая работа у @BuilderC,но недостойна знака качества. А на счет равносилия я согласна с @DocentI. Например при решении $%\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=1$% , когда после возведения в 3-й степень, выражение равное левой части исходного уравнения заменяем на 1, то получаем лишний корень-0.Причина хорошо обяснила @DocentI.

(25 Фев '12 21:52) ASailyan
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0
  1. Однозначно, что возведение в куб равносильная операция, но неравносильность возникает, когда мы предполагаем, что выражение равно 3 и его подставляем. Как правильно заметили выше, из неверного вытекает, что угодно. Проблема в том, что методом сведения к уравнению можно найти решения, но для доказательной силы необходимо найти и подставить ВСЕ корни в уравнение - а эта задача совершенно идентична поставленой))))) Вот такой парадокс.
  2. Возможно я ошибаюсь, но тут самое простое умножить левую и правую часть равенства на неполный квадрат, ну и так далее...
ссылка

отвечен 26 Фев '12 16:15

И что далее? Будет ли это решение лучше стандартного, которое ASailyan почему-то не понравилось?

(26 Фев '12 16:18) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

BuilderC, Ваши две копейки - замечательный ход конём!

ссылка

отвечен 26 Фев '12 19:47

изменен 25 Апр '13 15:59

ASailyan's gravatar image


15.3k724

Чего хохотали-то? Как-то не очень звучит. Может, уберете это слово?

(27 Фев '12 2:44) DocentI

Убрал бы, но слово - не воробей

(28 Фев '12 21:38) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
0

Мне удалась извлечь корень $$ \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}=\frac{9+\sqrt{21}}{6}$$ , $$ \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}=\frac{9-\sqrt{21}}{6}$$ Отсюда $$ \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}=\frac{9+\sqrt{21}}{6}+\frac{9-\sqrt{21}}{6}=3$$.

А к этому результату дошла обозначив $$ \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}=x, \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}=\frac{5}{3x}$$,а потом решила простое уравнение $$ x+ \frac{5}{3x}=3$$

ссылка

отвечен 27 Фев '12 0:58

изменен 8 Май '12 18:05

Пока не продумала до конца, но некоторые сомнения в корректности все же возникают. Впрочем, их можно разрешить простой проверкой, возведя в куб найденный корень. Идея хорошая.

(27 Фев '12 2:13) DocentI

Додумываю решение ASailian. Например, так: обозначим слагаемые через u и v. Имеем uv = 5/3. Если предположить, что u + v = 3, то (по теореме Виета) u и v являются корнями уравнения $%t^2-3t+5/3=0$%. Это числа $%{3\over2}+{\sqrt{21}\over 6}$% и $%{3\over2}-{\sqrt{21}\over 6}$%.
Проверим, будут ли эти числа кубическими корнями, записанными в задаче. Непосредственная проверка (возведение в куб) показывает, что да. В силу единственности кубического корня над полем вещественных чисел, равенство доказано.

(28 Фев '12 23:20) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $$x = \root 3 \of {6 + \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } + \root 3 \of {6 - \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } $$ Возведем равенство в куб, используя формулу сокращенного умножения: $%{(a + b)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b)$%, где $$a = \root 3 \of {6 + \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } ,\,\,\,\,\,b = \root 3 \of {6 - \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } $$ Тогда получим $${x^3} = 12 + 5x \Leftrightarrow {x^3} - 5x - 12 = 0$$ Заметим, что число $%3$% является корнем данного уравнения. Далее поделив $%{x^3} - 5x - 12$% на $%x - 3$% в столбик получаем $${x^3} - 5x - 12 = (x - 3)({x^2} + 3x + 4)$$ Теперь ясно, что $%x = 3$% единственный корень кубического уравнения. Отсюда $$x = \root 3 \of {6 + \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } + \root 3 \of {6 - \sqrt {\frac{{847}}{{27}}} } = 3$$

ссылка

отвечен 6 Ноя '14 21:00

@void_pointer: Ваше решение полностью совпадает с первым ответом. Выше я привел тождество, которое описывает все подобные примеры.

(6 Ноя '14 21:13) EdwardTurJ

Да но вы не показали, почему данная вами формула будет выполнятся для всех чисел данного вида. Она действительно работает, но как вы докажите, что она будет работать для всех примеров данного типа.

(6 Ноя '14 21:29) void_pointer

Насчет первого ответа вы правы я его упустил. Но у меня более развернутое решение.

(6 Ноя '14 21:30) void_pointer
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,447

задан
24 Фев '12 22:15

показан
7015 раз

обновлен
6 Ноя '14 21:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru