Найдите все натуральные числа n, для которых выражение является целым числом

Тривиальный ответ n=1,2.
Далее, 2n-3 - простое, иначе числитель дает остаток 1 при делении.
Перепишем задачу $%15 \cdot \left( \left(\frac {p+3}2 \right) ! \right)^2 \equiv -1 \pmod p$%
По теореме Вильсона
$% \left( \left(\frac {p+3}2 \right) ! \right)^2 \equiv (-1)\cdot (-1)^{(p-1)/2} \cdot \left( \frac {p+1}2 \cdot \frac {p+3}2\right)^2 $%
Итого, задача сводится к решению
$%15\cdot 9 \equiv (-1)^{(p-1)/2}\cdot 16 \pmod p$%

1) $%p=4k+1$%

$%119 = 7\cdot 17 \equiv 0 \pmod p$%

$%p=17, \,\, n= 10$%

2) $%p=4k+3$%

$%151 \equiv 0 \pmod p$%

$%p=151$% и $%n= 77$%