$%\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\operatorname{tg} \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\operatorname{arctg} {x_i}} } \right) = \frac{{f\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right)}}{{g\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right)}}, \hfill \\ {\text{где }}f{\text{ и }}g{\text{ - многочлены от }}{x_1},{x_2},...,{x_n}. \hfill \\ {\text{Разложите на множители }}{f^2} + {g^2}. \hfill \\ \end{array}$%

задан 8 Апр 1:50

изменен 8 Апр 16:22

10|600 символов нужно символов осталось
4

Через комплексные числа довольно просто получается, без них - не знаю. Пусть $$x_i=\textrm{tg}\alpha_i,\,\,\,-\frac{\pi}{2}<\alpha_i<\frac{\pi}{2},\,\,i=1..n .$$ Тогда

$$T=\textrm{tg}\left(\sum_{i=1}^n\textrm{arctg }x_i\right)=\frac{\sin(\alpha_1+...+\alpha_n)}{\cos(\alpha_1+...+\alpha_n)}=\frac{\textrm{Im}(e^{i(\alpha_1+...+\alpha_n)})}{\textrm{Re}(e^{i(\alpha_1+...+\alpha_n)})}=\frac{\textrm{Im }(e^{i \alpha_1}...e^{i \alpha_n})}{\textrm{Re }(e^{i \alpha_1}...e^{i \alpha_n})}.$$ Можно одновременно разделить числитель и знаменатель на произведение $$\cos\alpha_1 ... \cos\alpha_n>0,$$ тогда каждая экспонента вместо косинуса получит единицу, а вместо синуса - тангенс: $$T=\frac{\textrm{Im }((1+i x_1)...(1+i x_n))}{\textrm{Re }((1+i x_1)...(1+i x_n))}.$$ Сосчитаем сумму квадратов многочленов: $$f^2+g^2=|(1+i x_1)...(1+i x_n)|^2=(1+x_1^2)...(1+x_n^2).$$

ссылка

отвечен 8 Апр 14:50

10|600 символов нужно символов осталось
3

Здесь возможно прямое алгебраическое вычисление. Обозначим дробь из условия через $%\frac{f_n}{g_n}$%. Из формулы для тангенса суммы следует, что $$ \frac{f_{k+1}}{g_{k+1}}=\frac{\frac{f_k}{g_k}+x_{k+1}}{1-\frac{f_k}{g_k}\cdot x_{k+1}}=\frac{f_k+g_kx_{k+1}}{g_k-f_kx_{k+1}}. $$ Отсюда $%f_{k+1}=f_k+g_kx_{k+1}$%, $%g_{k+1}=g_k-f_kx_{k+1}$%, поэтому $%f_{k+1}^2+g_{k+1}^2=(f_k^2+g_k^2)(1+x_{k+1}^2)$%, и итоговая формула получается по индукции.

ссылка

отвечен 8 Апр 20:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×499
×455

задан
8 Апр 1:50

показан
117 раз

обновлен
8 Апр 20:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru