неопределенный - Определенный интеграл, разложение в степенной ряд

Разложение натурального логарифма в окрестности нуля таково: $$\ln(1-t)=-t-\frac{t^2}2-\frac{t^3}3-\cdots.$$ Здесь в качестве приближённого значения достаточно взять $%\ln(1-t)\approx-t$%, в результате чего получится интеграл от функции $%-2x^2$%, который легко вычисляется.

Оценим теперь точность приближения. Отброшенные члены ряда по модулю не превосходят $%|t|^2/2+|t|^3/3+\cdots\le\frac{|t|^2}2(1+|t|+|t|^2+\cdots)=\frac{|t|^2}{2(1-|t|)}$%. Подставим $%t=2x^3$% и разделим на $%x$%, что приводит к оценке $%2|x|^5/(1-2|x|^3)$%. Учитывая, что $%|x|\le0,2$%, а также умножая на длину отрезка интегрирования, получаем, что погрешность оценки меньше, чем $$\frac{2\cdot0,2^6}{1-2\cdot0,2^3},$$ что заведомо меньше $%10^{-3}$%.