Вычислить приближенно определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное ин- тегрирование полученного ряда. Результат должен быть получен с точно- стью до 0,001. 1

задан 30 Сен '13 23:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

Разложение натурального логарифма в окрестности нуля таково: $$\ln(1-t)=-t-\frac{t^2}2-\frac{t^3}3-\cdots.$$ Здесь в качестве приближённого значения достаточно взять $%\ln(1-t)\approx-t$%, в результате чего получится интеграл от функции $%-2x^2$%, который легко вычисляется.

Оценим теперь точность приближения. Отброшенные члены ряда по модулю не превосходят $%|t|^2/2+|t|^3/3+\cdots\le\frac{|t|^2}2(1+|t|+|t|^2+\cdots)=\frac{|t|^2}{2(1-|t|)}$%. Подставим $%t=2x^3$% и разделим на $%x$%, что приводит к оценке $%2|x|^5/(1-2|x|^3)$%. Учитывая, что $%|x|\le0,2$%, а также умножая на длину отрезка интегрирования, получаем, что погрешность оценки меньше, чем $$\frac{2\cdot0,2^6}{1-2\cdot0,2^3},$$ что заведомо меньше $%10^{-3}$%.

ссылка

отвечен 1 Окт '13 1:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×147
×49

задан
30 Сен '13 23:31

показан
2274 раза

обновлен
1 Окт '13 1:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru