Необходимо перечислить все идеалы факторкольца F2[x]/(x^3+1). У меня получилось в качестве ответа множители от (x^3+1) - x+1 и x^2+x+1, и тривиальные идеалы, но достойно обосновать не получается.

задан 20 Апр 16:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Разложение на неприводимые множители имеет вид x^3+1=(x+1)(x^2+x+1) над F2. Кратных множителей при этом не возникает, то есть все неприводимые сомножители попарно взаимно просты. В этом случае факторкольцо изоморфно прямому произведению полей F2[x]/(x+1) и F2[x]/(x^2+x+1). Это поля из двух и четырёх элементов соответственно.

Для кольца, являющегося прямым произведением полей (не обязательно двух), все идеалы описываются достаточно просто. Пусть у нас дано кольцо A = A(1) x ... x A(k), где все A(i) -- поля. Рассмотрим в нём некоторый идеал J. Назовём координату i от 1 до k существенной, если в J имеется элемент с ненулевой i-й координатой. Она является обратимым элементом поля A(i), откуда ясно, что элемент (0,...,1,...,0) кольца A, в котором 1 стоит на i-м месте, а остальные координаты нулевые, принадлежит J.

Если координата i не является существенной, то у всех элементов идеала на данном месте стоят нули, и такие координаты можно не учитывать. А по всем существенным координатам можно расставить любые элементы.

Отсюда следует, что идеалов в A будет столько же, сколько подмножеств имеется в множестве {1,2,...,k}. Такое подмножество мы загадываем произвольно, и принадлежащие ему координаты объявляем существенными, задавая их произвольно. Остальные координаты полагаем нулевыми. Все такие элементы образуют идеал кольца A, что сразу проверяется по критерию. Для разных подмножеств получаются разные идеалы.

Отсюда понятно, что в нашем кольце вида A1 x A2 идеалов 4, и это A1 x {0}, {0} x A2, вместе с нулевым идеалом {0} x {0} и единичным A1 x A2. В принципе, достаточно очевидно, что два нетривиальных идеала можно задать как порождённые классами многочленов x+1 и x^2+x+1.

ссылка

отвечен 20 Апр 22:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,013
×469
×185

задан
20 Апр 16:37

показан
95 раз

обновлен
20 Апр 22:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru