Хочу предложить ещё одну вариацию на тему задач, рассматривавшихся здесь. Она несложная, и решается теми же стандартными методами, но моё внимание она привлекла несколько неожиданным ответом.

Вот условие: на отрезок равномерно бросается точка, разбивающая его на две части. Из них выбирается максимальная по длине, и на неё снова равномерно бросается точка. В итоге возникают три части, и спрашивается, с какой вероятностью из них можно составить треугольник?

задан 2 Окт '13 19:52

@falcao, Она несложная... - А свой вариант покАжите?... интересно же...

(3 Окт '13 21:06) all_exist

@all_exist: а тут способ так или иначе один, если не обращать внимания на детали оформления. Можно через $%x$% обозначить минимальную из длин отрезков; она равномерно распределена на $%[0,1/2]$%. Треугольник составляется тогда и только тогда, когда нет сторон длиной $%\ge1/2$%. Значит, при бросании точки равномерно на отрезок длиной $%1-x$% нам надо попасть в точку на расстоянии более $%1/2$% от концов. Мера такого множества равна $%x$%. Делим на длину отрезка и интегрируем от 1/2 до 1. Домножаем на 2, так как $%x$% распределена на отрезке $%[0;1/2]$%, и на длину этого отрезка надо поделить.

(7 Окт '13 2:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим случай $%x > \frac{1}{2}$%, для которого благоприятные значения $%y$% описываются неравенством $%x-\frac{1}{2} < y < \frac{1}{2}$% ... Аналогично, при $%x<\frac{1}{2}$% благоприятные значения $%y$% описываются неравенством $%\frac{1}{2}< y < x +\frac{1}{2}$%... Таким образом, условная вероятность того, что $%y$% попадает в нужный интервал при каждом фиксированном $%x$% равна $$P(y|x)=\begin{cases}\frac{1-x}{x}, x > \frac{1}{2}\\[3pt] \frac{x}{1-x}, x < \frac{1}{2} \end{cases}...$$ Остаётся использовать формулу полной вероятности, откуда $$P= \int\limits_{0}^{1/2}\frac{x}{1-x}\,dx + \int\limits_{1/2}^{1}\frac{1-x}{x}\,dx = 2\ln2-1$$

ссылка

отвечен 2 Окт '13 23:00

изменен 7 Окт '13 1:23

У Вас пока не учтено, что мы сами выбираем отрезок максимальной длины. Формула полной вероятности должна приводить к тому, что $%P(A)=P(AB)+P(A\bar{B})$%, где $%A$% -- наличие успеха, $%B=\{x<1/2\}$%. Осталось лишь немного подкорректировать.

(3 Окт '13 1:02) falcao

Почему не учтено... при $%x>1/2$% значение $%y$% падает в интервал $%[0;x]$%, а при $%x<1/2$% - в интервал $%[x;1]$%... то есть в интервал наибольшей длины... и СВ $%y$% рассматривается как равномерно распределённая на соответствующем интервале...

Замечание про ФМП тоже не понятно... то есть $%1/2$% лишняя?...

(3 Окт '13 7:23) all_exist

ОК, давайте поступим так: нетрудно написать программу, использующую метод Монте-Карло для приближённого вычисления требуемой вероятности. Это, возможно, наведёт на нужную мысль. Далее, с формальной точки зрения, что означает выражение $%P(y|x)$%? Если это условная вероятность, то здесь должны рассматриваться некоторые события. Какие именно?

(3 Окт '13 9:06) falcao

@falcao, ОК, давайте поступим так: нетрудно написать программу, - я не любитель численных экспериментов... поэтому писать программу не буду... а свои выводы вечером посмотрю... хотя Ваших претензия я не понял...

(3 Окт '13 9:23) all_exist

Ну, тогда остаётся детально проверить все рассуждения на формально-логическом уровне. В предыдущем комменте я имел в виду, что условная вероятность имеет смысл для событий, в то время как $%y$% и $%x$% таковыми не являются.

(3 Окт '13 9:27) falcao

@falcao, в то время как y и x таковыми не являются. - Ну, возможно это не удачное обозначение... хотя я думал, что смысл понятен... вечером постараюсь выложить более логично обозначенное решение...

(3 Окт '13 10:55) all_exist

@Anatoliy: если выпала точка $%x$%, то она разделила единичный отрезок на две части: $%[0,x]$% и $%[x,1]$%. Если $%x < 1/2$%, то второй отрезок длиннее, и следующую точку равномерно бросаем на него. А если $%x > 1/2$%, то равномерно бросаем точку на первый отрезок.

(3 Окт '13 18:15) falcao

@Anatoliy, А значит ли это, что вероятность выбора точки $%y$% на множествах $%[0;0,9]$% и $%[0;0,8]$% разная? Почему? - Ну, во-первых, это отрезки разной длины... а, во-вторых, по условию распределение игрека зависит от значения икса...

(3 Окт '13 20:16) all_exist
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,687

задан
2 Окт '13 19:52

показан
1606 раз

обновлен
7 Окт '13 2:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru