|
Хочу предложить ещё одну вариацию на тему задач, рассматривавшихся здесь. Она несложная, и решается теми же стандартными методами, но моё внимание она привлекла несколько неожиданным ответом. Вот условие: на отрезок равномерно бросается точка, разбивающая его на две части. Из них выбирается максимальная по длине, и на неё снова равномерно бросается точка. В итоге возникают три части, и спрашивается, с какой вероятностью из них можно составить треугольник? задан 2 Окт '13 19:52 
falcao |
|
Рассмотрим случай $%x > \frac{1}{2}$%, для которого благоприятные значения $%y$% описываются неравенством $%x-\frac{1}{2} < y < \frac{1}{2}$% ... Аналогично, при $%x<\frac{1}{2}$% благоприятные значения $%y$% описываются неравенством $%\frac{1}{2}< y < x +\frac{1}{2}$%... Таким образом, условная вероятность того, что $%y$% попадает в нужный интервал при каждом фиксированном $%x$% равна $$P(y|x)=\begin{cases}\frac{1-x}{x}, x > \frac{1}{2}\\[3pt] \frac{x}{1-x}, x < \frac{1}{2} \end{cases}...$$ Остаётся использовать формулу полной вероятности, откуда $$P= \int\limits_{0}^{1/2}\frac{x}{1-x}\,dx + \int\limits_{1/2}^{1}\frac{1-x}{x}\,dx = 2\ln2-1$$ отвечен 2 Окт '13 23:00 
all_exist У Вас пока не учтено, что мы сами выбираем отрезок максимальной длины. Формула полной вероятности должна приводить к тому, что $%P(A)=P(AB)+P(A\bar{B})$%, где $%A$% -- наличие успеха, $%B=\{x<1/2\}$%. Осталось лишь немного подкорректировать.
(3 Окт '13 1:02)
falcao
Почему не учтено... при $%x>1/2$% значение $%y$% падает в интервал $%[0;x]$%, а при $%x<1/2$% - в интервал $%[x;1]$%... то есть в интервал наибольшей длины... и СВ $%y$% рассматривается как равномерно распределённая на соответствующем интервале... Замечание про ФМП тоже не понятно... то есть $%1/2$% лишняя?...
(3 Окт '13 7:23)
all_exist
ОК, давайте поступим так: нетрудно написать программу, использующую метод Монте-Карло для приближённого вычисления требуемой вероятности. Это, возможно, наведёт на нужную мысль. Далее, с формальной точки зрения, что означает выражение $%P(y|x)$%? Если это условная вероятность, то здесь должны рассматриваться некоторые события. Какие именно?
(3 Окт '13 9:06)
falcao
@falcao, ОК, давайте поступим так: нетрудно написать программу, - я не любитель численных экспериментов... поэтому писать программу не буду... а свои выводы вечером посмотрю... хотя Ваших претензия я не понял...
(3 Окт '13 9:23)
all_exist
Ну, тогда остаётся детально проверить все рассуждения на формально-логическом уровне. В предыдущем комменте я имел в виду, что условная вероятность имеет смысл для событий, в то время как $%y$% и $%x$% таковыми не являются.
(3 Окт '13 9:27)
falcao
@falcao, в то время как y и x таковыми не являются. - Ну, возможно это не удачное обозначение... хотя я думал, что смысл понятен... вечером постараюсь выложить более логично обозначенное решение...
(3 Окт '13 10:55)
all_exist
@Anatoliy: если выпала точка $%x$%, то она разделила единичный отрезок на две части: $%[0,x]$% и $%[x,1]$%. Если $%x < 1/2$%, то второй отрезок длиннее, и следующую точку равномерно бросаем на него. А если $%x > 1/2$%, то равномерно бросаем точку на первый отрезок.
(3 Окт '13 18:15)
falcao
показано 5 из 8
показать еще 3
|
@falcao, Она несложная... - А свой вариант покАжите?... интересно же...
@all_exist: а тут способ так или иначе один, если не обращать внимания на детали оформления. Можно через $%x$% обозначить минимальную из длин отрезков; она равномерно распределена на $%[0,1/2]$%. Треугольник составляется тогда и только тогда, когда нет сторон длиной $%\ge1/2$%. Значит, при бросании точки равномерно на отрезок длиной $%1-x$% нам надо попасть в точку на расстоянии более $%1/2$% от концов. Мера такого множества равна $%x$%. Делим на длину отрезка и интегрируем от 1/2 до 1. Домножаем на 2, так как $%x$% распределена на отрезке $%[0;1/2]$%, и на длину этого отрезка надо поделить.