Пусть G — некоммутативная группа, C — её центр. Доказать, что факторгруппа G/C не может быть циклической.

задан 20 Апр 23:33

изменен 21 Апр 0:29

Факторгруппа по центру изоморфна группе внутренних автоморфизмов, которая, в свою очередь, является циклической только в том случае, если она тривиальна, что противоречит некоммутативности группы G

(20 Апр 23:47) haosfortum

@haosfortum, если группы изоморфны, то одна из них циклическая тогда и только тогда, когда другая циклическая?

(21 Апр 0:28) qwertg

@steq: если группа G циклическая с образующим g, то любой её гомоморфный образ также цикличен. Он порождён элементом ф(g), где ф -- гомоморфизм. В частности, это верно и для изоморфизма. Но вообще-то при изоморфизме сохраняются все существенные свойства групп.

Сам факт из условия доказывается так: если G/C циклична, то она имеет образующий aC. Тогда любой элемент группы имеет вид a^{n}c, где c из C. Любые два элемента такого вида коммутируют.

(21 Апр 0:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,238
×1,031
×34

задан
20 Апр 23:33

показан
118 раз

обновлен
21 Апр 0:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru